線形力学系

線形力学系（せんけいりきがくけい、テンプレート:Lang-en-short）とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。

定義

一般に テンプレート:Math における線形力学系は、ベクトル値関数 テンプレート:Math と、テンプレート:Mvar 次の正方行列 テンプレート:Mvar により、次のような微分方程式で表される。

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}𝐱(t)=A𝐱(t)$

ただしこれは、テンプレート:Math が連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、

${𝐱}_{m+1}=A{𝐱}_m$

で表される。

これが線形であるとは、テンプレート:Math と テンプレート:Math が解ならば、任意のスカラー テンプレート:Mvar について、線形結合 テンプレート:Math も解である、ということを意味している。

線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数 テンプレート:Math（連続系）、もしくは累乗 テンプレート:Mvar（離散系）によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 テンプレート:Mvar の固有値、固有ベクトルによって理解できる。 非線形のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線形近似は、非線形系を理解するのに役立つ（ハートマン＝グロブマンの定理）。

線形力学系の解

初期値 テンプレート:Math が、行列 テンプレート:Mvar の固有ベクトル テンプレート:Math ならば、初期条件は

${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}𝐱(t)|}_{t=0}=A{𝐯}_k={\lambda }_k{𝐯}_k$

となる。ただし、テンプレート:Mvar は、固有ベクトル テンプレート:Math に対応する固有値である。このとき、解は、

$𝐱(t)={𝐯}_k{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{k}t}$

となる。

もし テンプレート:Mvar が対角化可能ならば、任意の初期値 テンプレート:Math は、固有ベクトルの線形結合で一意に表される。つまり、次のような係数 テンプレート:Mvar が一意に存在する。

${𝐱}_0=\sum _{k=1}^n{a}_k{𝐯}_k$

このとき解は、

$𝐱(t)=\sum _{k=1}^n{a}_k{𝐯}_k{e}^{{\lambda }_{k}t}$

となる。

対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数を用いて

$𝐱(t)=e^{tA}{𝐱}_0(e^{tA}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}{A}^n)$

と、解を導くことができる。

二次元の場合

二次元の線形力学系は、

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

で表される。この系では、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 次正方行列である。テンプレート:Mvar の固有値は、行列式 テンプレート:Math と、トレース テンプレート:Mvar を用いて、

${\lambda }_1=\frac{\tau +\sqrt{{\tau }^2-4\mathrm{\Delta }}}{2}$

${\lambda }_2=\frac{\tau -\sqrt{{\tau }^2-4\mathrm{\Delta }}}{2}$

のように書くことができる。

また、$\mathrm{\Delta }={\lambda }_1{\lambda }_2$ であり、$\tau ={\lambda }_1+{\lambda }_2$ である。

もし、$\mathrm{\Delta }<0$ ならば、固有値の符号が異なり原点は、鞍点 (テンプレート:En) となる。

$\mathrm{\Delta }=0$ ならば、原点は孤立した平衡点ではない。

$\mathrm{\Delta }>0$ ならば、固有値の符号が同じになり、$\tau <0$ ならば(漸近)安定、$\tau =0$ ならば中立安定、$\tau >0$ ならば不安定になる。また固有値が実数ならば節点 (テンプレート:En) となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なとき退化節点 (テンプレート:En) となる。最後に複素数のときは、渦状点 (テンプレート:En) となる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
  • テンプレート:Cite book

関連項目

• 自励系
• ハートマン＝グロブマンの定理