濃度 (数学)

数学、特に集合論において、濃度（のうど、テンプレート:Lang-en-short カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された。

濃度の関係

集合 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間に全単射が存在するとき テンプレート:Math2 と書き、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は濃度が等しいという。

集合 テンプレート:Mvar から集合 テンプレート:Math への単射が存在するとき テンプレート:Math と書き、テンプレート:Mvar の濃度は テンプレート:Mvar の濃度以下であるという。

集合 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar について、テンプレート:Math2 だが テンプレート:Math2 でないとき、テンプレート:Math2 と書き、テンプレート:Mvar の濃度は テンプレート:Mvar の濃度より小さいという。

シュレーダー=ベルンシュタインの定理により、テンプレート:Math2 かつ テンプレート:Math2 なら、テンプレート:Math2 が成り立つ。さらに、選択公理を仮定すれば、任意の集合 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math2 または テンプレート:Math2 が成り立つ。

テンプレート:Math2 が常に成り立つ集合への数学的対象の割り当てを濃度といい、濃度として割り当てられる数学的対象を基数という（濃度 テンプレート:Math2 は テンプレート:Math2 などとも表記される）。

厳密な定義

（カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）集合 テンプレート:Mvar の濃度の最も古い定義は、テンプレート:Mvar と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス テンプレート:Math としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、テンプレート:Mvar が空でないならば、一対一対応のつくすべての集合を集めたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、テンプレート:Mvar を空でない集合としたとき、集合 テンプレート:Mvar に テンプレート:Math2 を対応させる写像を考えることによって、宇宙から テンプレート:Math への単射が存在し、テンプレート:Ill2より、テンプレート:Math は真のクラスである。

フォン・ノイマンの割り当て

選択公理を仮定すると集合 テンプレート:Mvar に対し濃度 テンプレート:Math2 を テンプレート:Math2} と定義できる 。

これをフォン・ノイマンの割り当てという。

スコットのトリック

正則性公理の元、任意のクラスに対し画一的に（そのクラスの部分クラスとなる）集合を割り当てる方法であるスコットのトリックを使うと、 整列可能とは限らない集合 テンプレート:Mvar に濃度 テンプレート:Math2 を以下のように割り当てることができる（詳しくはスコットのトリックを参照）。

テンプレート:Math かつ、任意の集合 テンプレート:Mvar に対し「テンプレート:Math} 」

どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。

様々な集合の濃度

有限集合

有限集合の濃度は自然数を使って表せられる。濃度がn である集合をn 点集合という。

可算集合

テンプレート:Main 自然数全体からなる集合の濃度を可算無限濃度または単に可算濃度という（古くは可付番濃度とも呼ばれた）。通常、${\mathrm{\aleph }}_0$（アレフ・ゼロ）あるいは $𝔞$ と表記される。$\mathrm{\aleph }$はヘブライ文字のアレフである。濃度が可算無限になる集合を可算無限集合または単に可算集合（テンプレート:Lang-en-short）という。たとえば、整数全体からなる集合、有理数全体からなる集合はいずれも可算無限集合である。可算無限以下である濃度を高々可算な濃度または単に可算濃度という。

可算無限濃度には以下の性質がある。

• ${\mathrm{\aleph }}_0$ は極小な無限濃度である。すなわち、$\kappa$ が ${\mathrm{\aleph }}_0$ より小さい濃度ならば、$\kappa$ は有限濃度（すなわち自然数）である。
• 選択公理を仮定すると、${\mathrm{\aleph }}_0$ は最小な無限濃度である。すなわち、全ての無限濃度 $\kappa$ に対して、${\mathrm{\aleph }}_0\le \kappa$ が成り立つ。

非可算集合

テンプレート:Main 連続体濃度とは実数全体からなる集合の濃度である。$\mathrm{\aleph }$ あるいは $𝔠$ と表記される（ベート数を使って ${\beth }_1$ と書くこともできる）。カントールの対角線論法によって ${\mathrm{\aleph }}_0<\mathrm{\aleph }$ が成り立つことが証明される。ユークリッド空間をはじめとする多くの有限次元の空間が連続体濃度を持つ。さらにはユークリッド空間の上の連続関数全体や可分なヒルベルト空間全体もこの濃度である。

連続体濃度の冪濃度は ${\beth }_2$ あるいは $2^{𝔠}$ などと表記される。ユークリッド空間上の関数全体などはこの濃度を持つ。

集合演算と濃度

濃度の間に以下の演算が定義される（詳しくは基数#基数演算を参照）。

• $|X|+|Y|:=|X\bigsqcup Y|$ を $|X|$ と $|Y|$ の和という。 （ただし $X\bigsqcup Y$ は $X$ と $Y$ の直和 $(X\times \{0\})\cup (Y\times \{1\})$ のこと。）
• $|X|\cdot |Y|:=|X\times Y|$ を $|X|$ と $|Y|$ の積という。 （ただし $X\times Y$ は $X$ と $Y$ の直積。）
• テンプレート:Math $|X{|}^{|Y|}:=|X^Y|$ を $|X|$ を底、$|Y|$ を指数とする冪という。

（ただし テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像全体。）

このとき以下が成立。

• テンプレート:Math2$|X\cup Y|+|X\cap Y|=|X|+|Y|$
• $|𝒫(X)|=2^{|X|}$

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 基数
• 連続体仮説
• 連続体濃度

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語