三角錐数

n=5 のときの三角錐数である35個の球。最初の5つの三角数に等しい個数の球を順番に段重ねしたものである。

三角錐数（さんかくすいすう、triangular pyramidal number）は球を右図のように三角錐の形にならべたとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり三角数を1から小さい順に足した数のことである。四面体数（しめんたいすう、tetrahedral number）ともいう。

例： 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15)

n 番目の三角錐数 T_n は1から n 番目の三角数 n(n + 1)/2 までの和に等しいので

$\begin{array}{cc}{T}_n=\sum _{k=1}^n\frac{k(k+1)}{2}& =\frac{1}{2}(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2})\\ & =\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\\ \end{array}$

また組み合わせの記号を用いると $T_n={}_{n+2}{\mathrm{C}}_3$ となる。

三角錐数を小さい順に列記すると

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …（テンプレート:OEIS）。

性質

• 三角錐数のうち平方数でもある数は 1, 4 と 19600 (=140²) の3つのみである。(テンプレート:OEIS)

• 三角錐数でなおかつ四角錐数でもある数は 1 のみである。

• 三角錐数のうち三角数でもある数は1, 10, 120, 1540, 7140 の5つのみである。（テンプレート:OEIS）

• 2つの連続する三角錐数の和は四角錐数になる。

• 三角錐数の奇数番目は奇数の平方和、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=1テンプレート:Sup+3テンプレート:Sup+5テンプレート:Sup、56=2テンプレート:Sup+4テンプレート:Sup+6テンプレート:Sup)

奇数の時　$\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^2=\frac{(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n+1)}{6}$

偶数の時　$\sum _{k=1}^n(2k{)}^2=\frac{2n(2n+1)(2n+2)}{6}$

• 三角錐数は奇数-偶数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。

(奇数…テンプレート:OEIS、偶数…テンプレート:OEIS)

パスカルの三角形

• パスカルの三角形における数列は左上（または右上）にある列から順に

モナド(単数)の数列　1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…, ${}_{n-1}{\mathrm{C}}_0$,…

自然数の数列　1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, ${}_n{\mathrm{C}}_1$ ,…

三角数の数列　1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…, ${}_{n+1}{\mathrm{C}}_2$ ,…

三角錐数の数列　1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165,…, ${}_{n+2}{\mathrm{C}}_3$ ,…

となっている。左上（または右上）にある数列はその一つ右下（または左下）の数列の階差数列である。

• 三角錐数の逆数の総和は

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)}{6}}& =6\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}(\frac{1}{k}-\frac{2}{k+1}+\frac{1}{k+2})\\ & =3\{(\frac{1}{1}-\frac{2}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}-\frac{2}{4}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{6})+\cdots \}\\ & =\frac{3}{2}\end{array}$

関連項目

• 図形数
• 三角数
• 三角錐
• 球充填
• 四角錐数, 五角錐数

外部リンク

• テンプレート:MathWorld