主値

複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値（しゅち、テンプレート:Lang-en-short）とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。

必要性

複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。

$e^w=z$

例えば、$\log i$ の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。

$e^w=i$

オイラーの公式から、$i\pi /2$ が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。

関数の引数とした点 $(0,i)$ の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。$(1,0)$ から反時計回りに $\pi /2$ ラジアンだけ回転した点が $(0,i)$ になるが、ここからさらに $2\pi$ 回転すると、また $(0,i)$ になる。したがって$i(\pi /2+2\pi )$ も $\log i$ の値であると考えることができ、また $2\pi$ だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。

しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり $\log i$ の値は一意に定まらない、ということである。log z は、k を任意の整数として

$\log z=\ln |z|+i(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z+2\pi k)$

と書ける。k の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。

ここで k = 0 に相当する分枝をテンプレート:仮リンク、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。

一般化

一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を

$\mathrm{p}\mathrm{v}f(z)$

と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。

主な関数の主値

複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。

対数関数

対数関数の例は上述したが、その形は

$\log z=\ln |z|+i\left(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z\right)$

である。ここで $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z$ が多価である。この偏角の取りうる範囲を $-\pi <\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z\le \pi$ に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの（範囲の限定された）偏角を、大文字を使って $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z$ と書く。関数の定義に $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}z$ の代わりに $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z$ を使うことで、対数関数が一価になり、

$\mathrm{p}\mathrm{v}\log z=\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}z=\ln |z|+i\left(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}z\right).$

と書くことができるようになる。

指数関数

$\alpha$ を複素数（$\alpha \in ℂ$）とするときの指数 $z^{\alpha }$ について考えるとき、一般には z^α を e^{α log z} として定義する。ここで Log でなく log を使うと、e^{α log z} は多価関数となる。Log を使えば以下の形で z^α の主値を取ることができる。

$\mathrm{p}\mathrm{v}{z}^{\alpha }=e^{\alpha \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}z}$

平方根

複素数 $z=r{e}^{\varphi i}$ の平方根の主値は以下のようになる。

$\mathrm{p}\mathrm{v}\sqrt{z}=\sqrt{r}{e}^{i\varphi /2}$

ここで偏角は $-\pi <\varphi <\pi$ の範囲である。

複素数の偏角

atan と atan2 の比較

ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。

• $[0,2\pi )$
• $(-\pi ,\pi ]$

逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。

• atan2：$(-\pi ,\pi ]$ の範囲
• atan：$[-\pi /2,\pi /2)$ の範囲

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 分岐点
• 多価関数
• 価数

外部リンク

• テンプレート:MathWorld