セルバーグ積分

数学において、セルバーグ積分（テンプレート:Lang-en-short）は、オイラーのベータ関数の n 次元への一般化であり、テンプレート:Harvs により導入された。

セルバーグの積分公式

\begin{matrix} S_{n} (α, β, γ) & = \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} \prod_{i = 1}^{n} t_{i}^{α - 1} (1 - t_{i})^{β - 1} \prod_{1 \leq i < j \leq n} | t_{i} - t_{j} |^{2 γ} d t_{1} \dots d t_{n} \\ = \prod_{j = 0}^{n - 1} \frac{Γ (α + j γ) Γ (β + j γ) Γ (1 + (j + 1) γ)}{Γ (α + β + (n + j - 1) γ) Γ (1 + γ)} \end{matrix}

セルバーグの公式は、well poised hypergeometric series に対するテンプレート:仮リンクを含んでおり、またテンプレート:仮リンクの特別な場合をいくつか含んでいる。

青本の積分公式

テンプレート:Harvtxt は少しだけ一般的な次の積分公式を証明した。

\int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} (\prod_{i = 1}^{k} t_{i}) \prod_{i = 1}^{n} t_{i}^{α - 1} (1 - t_{i})^{β - 1} \prod_{1 \leq i < j \leq n} | t_{i} - t_{j} |^{2 γ} d t_{1} \dots d t_{n}

= S_{n} (α, β, γ) \prod_{j = 1}^{k} \frac{α + (n - j) γ}{α + β + (2 n - j - 1) γ} .

メータの積分

メータ (Mehta) の積分は、

\frac{1}{(2 π)^{n / 2}} \int_{- \infty}^{\infty} \dots \int_{- \infty}^{\infty} \prod_{i = 1}^{n} e^{- t_{i}^{2} / 2} \prod_{1 \leq i < j \leq n} | t_{i} - t_{j} |^{2 γ} d t_{1} \dots d t_{n}

である。これは直線上を動く原点に引き寄せられる点電荷の気体の分配函数であるテンプレート:Harv。その値はセルバーグ積分の値から導手することができ、

\prod_{j = 1}^{n} \frac{Γ (1 + j γ)}{Γ (1 + γ)}

となる。これはテンプレート:Harvtxt により予想された。彼らはセルバーグのより早期の仕事について知らなかった。

マクドナルドの積分

テンプレート:Harvtxt はメータの積分のすべての有限ルート系への次のような拡張を予想した。（メータのもともとの場合は A_n−1 というルート系に対応する。）

\frac{1}{(2 π)^{n / 2}} \int \dots \int {| \prod_{r} \frac{2 (x, r)}{(r, r)} |}^{γ} e^{- (x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) / 2} d x_{1} \dots d x_{n} = \prod_{j = 1}^{n} \frac{Γ (1 + d_{j} γ)}{Γ (1 + γ)} .

積はルート系のルート r 全体を渡り、数 d_j は鏡映群の不変式環の生成元の次数である。テンプレート:Harvtxt はすべての結晶鏡映群に対する統一的な証明を与えた。数年後彼は、Garvan によるコンピュータによる計算支援を利用して、完全な一般性を以ってそれを証明した (テンプレート:Harvtxt)。

参考文献

セルバーグ積分

目次

セルバーグの積分公式

青本の積分公式

メータの積分

マクドナルドの積分

参考文献

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