バーガース方程式

物理学、特に流体力学においてバーガース方程式（バーガースほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、一次元の非線形波動を記述する二階偏微分方程式。

概要

一次元のナビエ-ストークス方程式において、圧力を無視できる場合に相当する。

非線形な偏微分方程式であるが、コール・ホップ変換と呼ばれる変換にて、線形な拡散方程式に帰着させることができる。

時間変数t と空間変数x の関数u (x, t )についての非線形偏微分方程式

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = ν \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

をバーガース方程式という。ここで、定数ν>0は動的粘性率である。uu_xの項は移流項、u_xxは散逸項と呼ばれる。ν=0で散逸項がない場合、波の突っ立ちにより、解は多価関数となり、波の崩壊が生じるが、ν>0の場合には、散逸項により、崩壊が抑えられるため、波が伝播する。

バーガース方程式は非線形項uu_xを持つ非線形偏微分方程式であるが、コール・ホップ変換（Cole-Hopf transformation）と呼ばれる変数変換

\begin{matrix} u & = - 2 ν \frac{\partial}{\partial x} \log ψ \\ = - 2 ν \frac{ψ_{x}}{ψ} \end{matrix}

によって、線形な拡散方程式

\frac{\partial ψ}{\partial t} = ν \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}

に帰着させることができる。