零因子

抽象代数学において、環の零因子（れいいんし、テンプレート:Lang-en-short）とは、環の乗法において、

零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する

ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。

定義

環 $R$ の元 $a$ は、$ax=0$ となる $x\ne 0$ が存在するとき、すなわち

$\mathrm{\exists }x\in R\setminus \{0\}:ax=0$

を満たすときに左零因子（ひだりれいいんし、ひだりぜろいんし、テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる。この定義では非零元の存在を要求するから、自明な環における0は零因子ではないが、自明な環以外では、0は必ず零因子となる。

また、この定義は、x を ax に送る R から R への写像が単射でないことと同値であるテンプレート:Sfn。同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya = 0 となることである。

左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれるテンプレート:Sfn。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。

環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。

参考文献

• テンプレート:Citation.
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関連項目

• 零元