組成列

組成列（そせいれつ、テンプレート:Lang-en-short）は、抽象代数学における概念の一つであり、与えられた群や加群といった代数的構造を、代数的により単純な構造の単純群や単純加群に分解する手掛かりを与えるものである。組成列が存在するという条件は、有限個の単純（加）群の直積（直和）に書けるという条件よりも弱い。また、組成列が存在すれば、それはある意味で一意的である。

概要

群の組成列の定義は次のとおりである。群テンプレート:Mvar が相異なる部分群の有限列

G = G_{n} ⊋ \dots ⊋ G_{0} = 1

を持ち、各添字テンプレート:Math についてテンプレート:Math はテンプレート:Mvar の正規部分群であり (テンプレート:Math)、剰余群テンプレート:Math が単純群であるとき、この部分群の有限列テンプレート:Math を組成列と呼び、剰余群の列テンプレート:Math を剰余因子群または組成因子と呼ぶ。また、部分群の個数テンプレート:Mvar を組成列の長さと呼ぶ^[1]。

上の定義においては、群テンプレート:Mvar の各部分群テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar の正規部分群であること (テンプレート:Math) は要求されていない。この要求を満たす場合、テンプレート:Math を主組成列と呼び、G の直積分解を考える上では、こちらの方がより本質的である (クルル・レマク・シュミットの定理参照)。

群テンプレート:Math が有限個の単純群の直積に分解可能な場合、テンプレート:Math は完全可約群または半単純群であるという。上の定義から明らかなように、剰余因子群は単純群であり、テンプレート:Math が完全可約群であれば、剰余因子群の直積に分解される。

しかし、群テンプレート:Math が主組成列を持つ場合でも、必ずしも完全可約群であるとは限らない。これは単純群は直既約群であるが、直既約群は必ずしも単純群ではないという理由による。

例えば、テンプレート:Math を 5元体テンプレート:Math の乗法群テンプレート:Math = {1,2,3,4} と置けば、テンプレート:Math は位数4の巡回群であり、2と3はテンプレート:Math の生成元であるので、テンプレート:Math = {1,4} が唯一の自明でない正規部分群である。主組成列はテンプレート:Math であり、剰余因子群はテンプレート:Math とテンプレート:Math = テンプレート:Math であるが、これらは共に位数2の巡回群であり同型である。この2つの群の直積はやはり位数2の巡回群であり位数4の巡回群であるテンプレート:Math には一致しない。つまりこの場合のテンプレート:Math は完全可約群ではないことになる。

一般に、テンプレート:Math を位数が素数のべき乗テンプレート:Math (テンプレート:Math は素数、テンプレート:Math は2以上の自然数) である巡回群とすれば、テンプレート:Math の自明でない部分群 (テンプレート:Math 自身および単位群テンプレート:Math 以外の部分群) の位数はテンプレート:Math (テンプレート:Math はテンプレート:Math である自然数) であり、これらの部分群をいかに直積で組み合わせても、位数がテンプレート:Math の元 (テンプレート:Math の生成元) を含むような群にはならない。したがって、テンプレート:Math はこれ以上直積分解できないので直既約群であるが、明らかに自明でない正規部分群を持つので単純群ではない。

群テンプレート:Mvar が直積分解可能であるか否かにかかわらず、組成列が存在すれば、組成因子は順序と同型の違いを除いて一意的である。つまり、

G = H_{s} ▹ \dots ▹ H_{0} = 1

G = K_{t} ▹ \dots ▹ K_{0} = 1

をそれぞれテンプレート:Mvar の組成列とすれば、テンプレート:Math であり、剰余群テンプレート:Math とテンプレート:Math は、適当なテンプレート:Mvar 次の置換テンプレート:Math によってテンプレート:Math とすることができる (ジョルダン・ヘルダーの定理)。

群に対して

有限性と極大性

群テンプレート:Mvar の部分群の列

G = G_{n} \supseteq \dots \supseteq G_{0} = 1

が各添字テンプレート:Math についてテンプレート:Math である場合、テンプレート:Math をテンプレート:仮リンク (subnormal series) と呼び、部分群の個数テンプレート:Mvar を正規鎖の長さと呼ぶ。ただし、組成列と異なり、テンプレート:Mvar とテンプレート:Math の間にテンプレート:Math の正規部分群が存在する場合も許容され、長さが無限大となる場合も有り得るものとする。

組成列は長さが有限で、その長さが極大である正規鎖であると言える。群テンプレート:Mvar に組成列が存在するならば、テンプレート:Mvar の任意の正規鎖は感覚的に言えば列に部分群を極大になるまで挿入することによって、組成列に細分できる。つまり、組成列にはもはや「挿入」できる部分群がないということである。

任意の有限群は組成列をもつが、すべての無限群が組成列をもつわけではない。組成列を持つことは一種の有限条件である^[1]。

例えば、整数環テンプレート:Math を加法についての群と見なした場合、組成列を持たない。

ジョルダン・ヘルダーの定理

群はいくつもの組成列をもつかもしれない。しかしながら、ジョルダン・ヘルダーの定理（カミーユ・ジョルダンとオットー・ヘルダーにちなんで名づけられた）は、与えられた群の任意の組成列は同値であると主張する。つまり、組成列の長さは等しく、組成因子も順序と同型の違いを除いて等しい。この定理はテンプレート:仮リンクを使って証明できる。ジョルダン・ヘルダーの定理はまた超限（transfinite）増大組成列についても正しいが、超限減少組成列に対しては正しくないテンプレート:Harv。

例

位数テンプレート:Mvar の巡回群に対して、組成列はテンプレート:Mvar の順序を考慮に入れた素因数分解と関係があり、実は、算術の基本定理の証明をもたらす。

例えば、巡回群テンプレート:Math は異なる組成列として

C_{12} ▹ C_{6} ▹ C_{2} ▹ 1

;

C_{12} ▹ C_{4} ▹ C_{2} ▹ 1

;

C_{12} ▹ C_{6} ▹ C_{3} ▹ 1

をもつ。

各列から得られる組成因子の列はそれぞれ

C_{2}, C_{3}, C_{2}

;

C_{3}, C_{2}, C_{2}

;

C_{2}, C_{2}, C_{3}

である。

加群に対して

テンプレート:See also 自然に現れる多くの加群は、上記の必ずしも可換ではない群の場合と同様に、必ずしも完全可約群（半単純加群）ではなく、単純加群の直和に分解できないため、その構造を考える上で組成列は重要な情報を与える手段である。

加群テンプレート:Mvar の組成列は、となりあった加群の商が単純であるような、部分加群によるテンプレート:Mvar の増大する有限のフィルターであり、テンプレート:Mvar の単純部分加群による直和分解の代わりの役割を果たす。ジョルダン・ヘルダーの定理による組成列の一意性は、有限群やアルティン加群の不変量を定義するのに使える。

加群に対する組成列の定義は部分加群のみに着目し、部分加群でない部分加法群は無視する。環テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar-加群テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Mvar の組成列とは部分加群の列

M = M_{n} ⊋ \dots ⊋ M_{0} = 0

であり、各テンプレート:Math に対しテンプレート:Math がテンプレート:Math の極大部分加群であるものである。この場合、（単純）商加群テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の組成因子と呼ばれる。もしテンプレート:Mvar が組成列をもちさえすれば、テンプレート:Mvar の部分加群の任意の有限真増大列は組成列に細分できる。群のときと同様に、ジョルダン・ヘルダーの定理が成り立ち、テンプレート:Mvar の任意の組成列は同値である。つまり、組成列の長さは等しく、組成因子も順序と同型の違いを除いて等しい。

加群が有限の組成列をもつこととアルティン加群かつネーター加群であることが同値であることはよく知られているテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar がアルティン環であれば、任意の有限生成テンプレート:Mvar-加群はアルティン的かつネーター的なので、有限の組成列をもつ。とくに、任意の体テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar 上の有限次元多元環上の任意の有限次元加群は同値の違いを除いて組成列を1つもつ。

一般化

作用域をもつ群は群に対する群の作用と環の作用を一般化する。テンプレート:Harv にあるように群と加群との両方に対して統一的にアプローチすることができ、説明のいくつかが簡単になっている。群テンプレート:Mvar を集合テンプレート:Math から元（作用素）によって作用されていると考える。注意はテンプレート:Math の元の作用で不変な部分群（テンプレート:Math-部分群と呼ばれる）のみに制限される。したがってテンプレート:Math-組成列はテンプレート:Math-部分群のみを使わなければならず、テンプレート:Math-組成因子はテンプレート:Math-単純であるだけでよい。ジョルダン・ヘルダーの定理のような、上記の標準的な結果は、ほとんど同一の証明によって証明される。

特別なケースとしてテンプレート:Math であってテンプレート:Mvar がそれ自身に作用しているときがある。重要な例はテンプレート:Mvar の元が共役で作用して作用素の集合が内部自己同型からなるときである。この作用のもとでの組成列はちょうどテンプレート:仮リンクである。加群の構造はテンプレート:Math が環であっていくつか追加の公理を満たすときのテンプレート:Math-作用のケースである。

アーベル圏の対象に対して

アーベル圏において対象テンプレート:Mvar の組成列は部分対象の列

X = X_{n} ⊋ \dots ⊋ X_{0} = 0

であって、（テンプレート:Math に対して）各商対象テンプレート:Math がテンプレート:仮リンクであるようなものである。テンプレート:Mvar が組成列をもてば、整数テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar のみに依存し、テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクと呼ばれる^[2]。

脚注

テンプレート:Reflist

組成列

目次

概要

群に対して

有限性と極大性

ジョルダン・ヘルダーの定理

例

加群に対して

一般化

アーベル圏の対象に対して

脚注

参考文献

関連項目

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組成列

概要

群に対して

有限性と極大性

ジョルダン・ヘルダーの定理

例

加群に対して

一般化

アーベル圏の対象に対して

脚注

参考文献

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