アルティン・リースの補題

数学において、アルティン・リースの補題（テンプレート:Lang-en-short）は、ヒルベルトの基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンとテンプレート:仮リンクによって独立に証明された。特別な場合はオスカー・ザリスキに先に知られていた。

この補題から得られる結果にクルルの交叉定理がある。また、完備化の完全性を証明するためにも使われるテンプレート:Sfn。

補題の主張

I をネーター環 R のイデアルとする。M を有限生成 R-加群とし N をその部分加群とする。このときある整数 k ≥ 1 が存在して、n ≥ k に対して

$I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N)$

が成り立つ。

証明

必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は R が「ネーター的」であるという事実から直ちに従うテンプレート:Sfn。

任意の環 R および R のイデアル I に対して、${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}R={⨁}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{I}^n$ とおく（blow-up のbl）。部分加群の減少列 $M=M_0\supset M_1\supset M_2\supset \cdots$ が I-フィルター（I-filtration）であるとは、$I{M}_n\subset M_{n+1}$ が成り立つときにいう。さらに、それが安定（stable）であるとは、十分大きい n に対して $I{M}_n=M_{n+1}$ であるときにいう。M に I-フィルターが与えられているとき、${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}M={⨁}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ とおく。これは ${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}R$ 上の次数加群である。

さて、M を R-加群とし、有限生成 R-加群による I-フィルター $M_i$ が与えられているとする。次のことを確認する。

${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}M$ が ${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}R$ 上有限生成加群であることと、フィルターが I-安定であることは同値である。

実際、フィルターが I-安定であれば、${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}M$ ははじめの $k+1$ 個の $M_0,\dots ,M_k$ によって生成され、これらは有限生成であるので、${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}M$ も有限生成である。逆に、${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}M$ が有限生成であれば、${⨁}_{j=0}^k{M}_j$ として、$n\ge k$ に対して、各 f ∈ M_n は

$f=\sum a_{ij}{g}_{ij},a_{ij}\in I^{n-j}$

と書ける。ただし $g_{ij}$ は $M_j,j\le k$ の生成元。つまり、$f\in I^{n-k}{M}_k$ である。

これで R がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。$M_n=I^{n}M$ とする。すると $M_n$ は I-安定なフィルターである。したがって、上記より、${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}M$ は ${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}R$ 上有限生成である。しかし ${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}R\simeq R[It]$ は R がネーター環なのでネーター環である。（環 $R[It]$ はテンプレート:仮リンクと呼ばれる。）したがって、${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}M$ はネーター加群であり任意の部分加群は ${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}R$ 上有限生成である。とくに、N に induced filtration が与えられているとき、すなわち $N_n=M_n\cap N$ であるとき、${\mathrm{b}\mathrm{l}}_{I}N$ は有限生成である。すると induced filtration も上記の確認により I-安定である。

クルルの交叉定理の証明

環の完備化における使用に加えて、補題の典型的な応用はクルルの交叉定理 (Krull's intersection theorem)

ネーター局所環の真のイデアル I に対して、${\bigcap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}^n=0$

の証明である。共通部分 N に補題を適用すれば、ある k が存在して

$I^{k+1}\cap N=I(I^k\cap N)$

が成り立つ。すると $N=IN$ なので中山の補題によって $N=0$ である。

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation

外部リンク

• テンプレート:Planetmath reference