プロプリズム

テンプレート:出典の明記数学の高次元（特に四次元以上）の幾何学におけるプロプリズム（テンプレート:Lang-en-short; 積角柱）は、ふたつ以上の（その各々が二次元以上の）（超）多面体のデカルト積として得られる超多面体を言う。テンプレート:En（積角柱）はテンプレート:En（角柱の直積）のかばん語で、ジョン・ホートン・コンウェイによる造語である。プロプリズムの占める空間の次元は、その各直積因子の次元の総和と等しい。また、プロプリズムはテンプレート:Ill2 の（高次元）面としてしばしば生じる。テンプレート:Sfn

性質

各プロプリズムの頂点の総数は、その直積因子となる各超多面体の頂点数の総積に等しい。
各プロプリズムの最小テンプレート:Ill2（対称性の数）は、その直積因子となる各超多面体の対称度の総積に等しい。高次の対称度を持ち得るのは、直積因子となる超多面体に同じものがあるときに限る。
プロプリズムがテンプレート:Ill2となるのは、その直積因子がすべて凸となるときである。

とくに、二つの（超）多面体（それぞれの次元がテンプレート:Math 以上テンプレート:Efn2）の直積として得られる超多面体を双角柱テンプレート:訳語疑問点 (テンプレート:En) と呼ぶ。ふたつの直積因子がそれぞれテンプレート:Mvar-次元およびテンプレート:Mvar-次元多面体であるとき、それらの直積は (テンプレート:Mvar)-次元の多面体である。

大抵の場合には「双角柱」と言えば二つの多角形の直積として得られる四次元の図形を指している。この意味の双角柱は、四次元について述べたテンプレート:Harvs ではテンプレート:En（二重角柱）と呼ばれているテンプレート:Sfn。

考える二つの多角形をそれぞれ点集合とみてテンプレート:Math とすれば、それら二つのデカルト積は点集合として $P_{1} \times P_{2} = {(x, y, u, v) ∣ (x, y) \in P_{1}, (u, v) \in P_{2}}$ と書ける。

もっとも小さい双角柱は、ふたつの三角形の積として得られるテンプレート:Ill2であるテンプレート:Efn2。考える三角形が正三角形ならば、その双角柱はシュレーフリ記号を用いた積テンプレート:Math として書ける。この双角柱は頂点をテンプレート:Math個持つ。

四次元立方体を、たがいに直交する大きさの等しい正方形の積として得られる双角柱テンプレート:Math として構成することもできる（頂点数テンプレート:Math）。

六次元より高次では、二次元以上の多面体みっつのデカルト積となる超多面体として、三重角柱 (テンプレート:En) が考えられる。直積因子がそれぞれテンプレート:Math2-次元多面体である三重角柱はテンプレート:Math-次元多面体となる。

もっとも次元の低い場合が、みっつの多角形の積として書けるテンプレート:Ill2である。最小の例として、三つの正三角形の積、シュレーフリ記号でテンプレート:Math と書ける、テンプレート:Math 頂点を持つ多面体が挙げられる。これはテンプレート:Ill2である。