ザリスキ環

可換環論において、ザリスキ環 (Zariski ring) は可換ネーター位相環 A であってその位相がジャコブソン根基、すべての極大イデアルの共通部分、に含まれるイデアル m によって定義されているものである。それらは テンプレート:Harvs によって今では幾分違うことを意味する「半局所環」(semi-local ring) の名前で導入され、テンプレート:Harvtxt によって「ザリスキ環」(Zariski ring) と名付けられた。ザリスキ環の例はネーター局所環と、ネーター環の $𝔞$-進完備化である。

A をネーター環とし $\hat{A}$ をその $𝔞$-進完備化とする。このとき以下は同値である。

• $\hat{A}$ は A 上忠実平坦である（一般には、平坦でしかない）。
• すべての極大イデアルは $𝔞$-進位相で閉である。
• A はザリスキ環である。

参考文献

• M. Atiyah, I. Macdonald Introduction to commutative algebra Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969
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