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…せいかのうしゅうごう、 constructible universe または Gödel's constructible universe）とは、[[クルト・ゲーデル]]によって導入された、[[集合論]]の[[公理]]を満たすモデル上で[[空集合]]から帰納的に構成していける[[集合]]のことである。より正確な定義は [[Category:クルト・ゲーデル]] …

[[:en:Robert M. Solovay|ソロヴェイ]]は未発表の論文の中で、[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]の構成的宇宙 '''L''' ([[構成可能集合]]全体からなるクラス)にクレパ木が存在することを示した（より正確には、[[ダイヤモンド原 …

…デル解'''（ゲーデルかい、{{en|Gödel solution}}）は、[[一般相対性理論]]の[[アインシュタイン方程式]]の厳密解の一つ。[[クルト・ゲーデル]]が[[1949年]]に発表した。この解は、[[宇宙項]]の大きさを[[ダスト粒子]]の密度によって再定義するなど多分に人工的なものであるが、解として [[Category:クルト・ゲーデル]] …

概略を示すと、ウィラードによる体系の構成の鍵は、[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]の機構が体系内の[[証明可能性]]について議論できる程度の形式化を行うが、[[対角線論法]]を形式化できるようにしないことであった。対角線 …

…において何らかの[[形式言語]]のそれぞれの記号や[[well-formed formula|論理式]]に一意に割り振られる[[自然数]]である。[[クルト・ゲーデル]]が[[ゲーデルの不完全性定理|不完全性定理]]の証明に用いたことから、このように呼ばれている。また、ゲーデル数を割り振ることを'''ゲーデル数化'' [[Category:クルト・ゲーデル]] …

[[クルト・ゲーデル]]は、連続体仮説は偽であると強く主張したことで知られている。彼の見方では、連続体仮説の独立性の証明は ZFC に欠点があることを示しており、もっとよい …ィット・ヒルベルト]]は彼の有名な[[ヒルベルトの23の問題| 23 の問題]]の第一番にこの連続体仮説を取り上げた。その後、[[1940年]]に[[クルト・ゲーデル]]は任意の ZF のモデルにおいて[[構成可能集合]]全体のクラス ''L'' が連続体仮説をみたすことを証明し、「ZFC からは連続体仮説の否定は証 …

…る[[ゲルハルト・ゲンツェン|ゲンツェン]]の証明や[[グッドスタインの定理]]の証明などがある)。これがゲンツェンの証明において用いられたことと[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]の[[不完全性定理|第二不完全性定理]]から、ペアノ算術ではこの順序の[[整礎関係|整礎性]]を証明できないことが判る（事実、&epsil …

…(第三版)]] p.107、[[#HA(第六版) |ヒルベルト、アッケルマン(第六版)]] pp.139-145</ref>。[[1929年]]に[[クルト・ゲーデル]]が証明した。 …ある」と述べていた。[[#廣瀬,横田(1985)|廣瀬,横田(1985)]] pp.5-6</ref>。この本を読み、この問題の解決に取り掛かった[[クルト・ゲーデル]]は、学位論文として1929年の秋にその結果を発表した。これがいわゆるゲーデルの完全性定理である<ref>[[#廣瀬,横田(1985)|廣瀬,横田(1 …

…ダフィット・ヒルベルト]]が確立したとされる。ヒルベルトは[[数学基礎論]]において[[ヒルベルト・プログラム]]と呼ばれる試みを立ち上げた。まず[[クルト・ゲーデル]]が独創的な研究を行い、ヒルベルト・プログラムに打撃を与えた。彼の[[ゲーデルの完全性定理|完全性定理]]は、ヒルベルトの全ての数学を1つの有限主義的 このプログラムの誤りは[[クルト・ゲーデル]]の[[ゲーデルの不完全性定理|不完全性定理]]で明らかとなった。不完全性定理は、何らかの数学的真理を表現できる程度に強力な任意の[[Ω無矛盾|ω無矛 …

[[File:1925 kurt gödel.png|thumb|120px|クルト・ゲーデル]] 一方で、カントールが頭を悩ませつづけた[[連続体仮説]]：「実数集合は自然数集合の次に大きい集合であるか？」は、[[クルト・ゲーデル]]と[[ポール・コーエン (数学者)|ポール・コーエン]]の業績によってZFC公理系からは証明も反証もできないことがわかった。 …

…るため、「対角化」と呼ばれる<ref>例えば、Gaifman (2006)を参照のこと。</ref>。「対角化定理」または「不動点」という用語は、[[クルト・ゲーデル]]の{{仮リンク|プリンキピア・マテマティカとその関連体系における形式的に決定不可能な命題について|en|On Formally Undecidabl …''<!--boldface per WP:R#PLA-->（general self-reference lemma）を最初に証明した<ref>[[クルト・ゲーデル|Kurt Gödel]], ''Collected Works, Volume I: Publications 1929–1936'', Oxford …

[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]による[[一階述語論理]]の[[ゲーデルの完全性定理|完全性定理]]の証明では、全ての論理式を冠頭標準形に変換することが前提になっている。 …

モデル理論的な観点は[[集合論]]にとって有用である。例えば、[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]が[[ポール・コーエン (数学者)|コーエン]]により開発された[[強制法]]を用いて行った[[構成可能集合]]に対する仕事によって、（哲 …有限なので、類似の言明は自明である。モデル理論の文脈では、しかしながら、この証明はより困難となる。この証明には二つのよく知られたものがある。一つは[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]によるもの（複数の証明を経由して行われた）で、もう一つが{{仮リンク|アナトリー・マルチェフ|label=マルチェフ|en|Anatoly …

*ZFCの無矛盾性 - [[1931年]][[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]が、ZFCでは証明できない命題が存在することを初めて示した（[[ゲーデルの不完全性定理]]）。とくにZFCの無矛盾性それ自体がZFCで決定 …

'''ゲーデルの加速定理'''（ゲーデルのかそくていり、{{lang-en-short|Gödel's speedup theorem}}）は、[[クルト・ゲーデル]]<ref>{{Citation | last1=Gödel | first1=Kurt | title=Über die Länge von Bew [[Category:クルト・ゲーデル]] …

…た内包公理は[[ラッセルのパラドックス]]を回避できるため、[[エルンスト・ツェルメロ|ツェルメロ]]、[[アドルフ・フレンケル|フレンケル]]、[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]といった数学者は、集合論の最重要な公理と考えた。<ref name="Ebbinghaus2007">{{Cite book |last= …

…oolean algebra. Courier Corporation.</ref>論理的推論と数学的証明は古代から存在したが、[[1931年]][[クルト・ゲーデル]]は自身の[[ゲーデルの不完全性定理|不完全性定理]]で、公理体系には証明できない限界が存在することを証明した。<ref>Berto, F. (201 …

ペアノ算術に決定不能な命題があること自体は、[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]の[[不完全性定理]]により示されている。しかし、不完全性定理の一般的な証明で用いる命題が自己言及のパラドックスを利用した「人工的」なもの …

というのが、一般連続体仮説である。一般連続体仮説のZFからの無矛盾性を[[クルト・ゲーデル]]が、独立性を1963年に[[ポール・コーエン (数学者)|ポール・コーエン]]がそれぞれ証明した。 …

[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]の第1不完全性定理は、プリンキピアが無矛盾かつ完全であることはできないことを示した。定理によれば、プリンキピアのような、十分に強力な論理体 …