解説J-inv-poincare.jpeg	Klein's J-invariant, modulus on Poincaré disk (600x600 pixels)
日付	2005年5月22日, 01:30 (当初のアップロード日)
原典	en.wikipedia からコモンズに Keyi によって移動されました。
作者	en:user:Linas
許可 (ファイルの再利用)	このファイルはクリエイティブ・コモンズ 表示-継承 3.0 非移植ライセンスのもとに利用を許諾されています。 著作権に示した解釈の下ライセンスされるものとします。 あなたは以下の条件に従う場合に限り、自由に 共有 – 本作品を複製、頒布、展示、実演できます。 再構成 – 二次的著作物を作成できます。 あなたの従うべき条件は以下の通りです。 表示 – あなたは適切なクレジットを表示し、ライセンスへのリンクを提供し、変更があったらその旨を示さなければなりません。これらは合理的であればどのような方法で行っても構いませんが、許諾者があなたやあなたの利用行為を支持していると示唆するような方法は除きます。 継承 – もしあなたがこの作品をリミックスしたり、改変したり、加工した場合には、あなたはあなたの貢献部分を元の作品とこれと同一または互換性があるライセンスの下に頒布しなければなりません。 このライセンスのテンプレートは、GFDLのライセンス・アップデートによりこのファイルに追加されたものです。http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue この文書は、フリーソフトウェア財団発行のGNUフリー文書利用許諾書 (GNU Free Documentation License) 1.2またはそれ以降のバージョンの規約に基づき、複製や再配布、改変が許可されます。不可変更部分、表紙、背表紙はありません。このライセンスの複製は、GNUフリー文書利用許諾書という章に含まれています。 著作権に示した解釈の下ライセンスされるものとします。http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

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Klein's J-invariant, modulus on Poincaré disk (600x600 pixels)

This image shows the modulus |j| of the J-invariant ${\displaystyle j=g_{2}^{3}/\Delta }$ as a function on the Poincare disk. The Poincaré disk is a mapping of the upper half-plane to the unit disk by means of the Mobius transformation

${\displaystyle z={\frac {\tau -i}{\tau +i}}}$

where τ is the half-period ratio, that is, the coordinate on the upper half-plane. The left-right symmetry of this image corresponds to the ${\displaystyle \tau \to -1/\tau }$ symmetry of the J-invariant, as small values for the imaginary part of τ are mapped to z=−1 on the left hand side, while large values for the imaginary part of τ are mapped to z=+1 on the right side. The fundamental domain is a triangle spanning the two vertically oriented dots in the center, with the cusp at z=+1 on the right. The transformation ${\displaystyle \tau \to \tau +1}$ corresponds to walking the fundamental domain from dot to dot on the boundary of the largest red area on the right; the cusp z=+1 remains unchanged.

For a detailed description of other aspects of this picture, including the coloration, please refer to Image:J-inv-modulus.jpeg.

• See also Image:J-inv-real.jpeg for the real part.
• See also Image:J-inv-phase.jpeg for the phase.

It, and other related images, can be seen at http://www.linas.org/art-gallery/numberetic/numberetic.html

Created by Linas Vepstas User:Linas <linas@linas.org> on 21 May 2005 using custom software written entirely by Linas Vepstas.

Released under the Gnu Free Documentation License (GFDL) by Linas Vepstas.

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