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…ーマン多様体]]上の'''閉測地線'''（へいそくちせん、{{Lang-en-short|closed geodesic}}）とは、その多様体上の[[測地線|測地流]]の閉軌道の射影のことを言う。 [[リーマン多様体]] (''M'',''g'') において閉測地線は、計量 ''g'' についての[[測地線]]であり、周期的であるような曲線 <math>\gamma:\mathbb R\rightarrow M</math> である。 …

…十分近い2つの離れた点が最短線で結ばれた曲線を言う。[[ユークリッド空間]]における[[直線]]の概念を、曲がった空間において一般化したものである。「測地線」という用語は、[[地球]]の大きさと形状を測定する学問である[[測地学]]に由来する。本来の意味では、測地線は地表の2点間の最短ルートであり、球体形状 …]]、[[ヨハン・ベルヌーイ]]は、曲面上の２点をその曲面上で結び、その長さを最小にする問題を考え、このような長さの最も短い曲線を、この曲面上の'''測地線'''（geodesic）と呼んだ<ref>{{cite book | 和書 | title=現代数学の黎明期 近代数学[上] | author=近藤 …

…xis'') に、空間内の[[曲線]]を回転させて得られる[[曲面]]を言う。この曲線は回転曲面を生成する'''母曲線'''あるいは'''[[母線 (数学)|母線]]''' (''generatrix'') と呼ぶ。<ref>''Analytic Geometry'' Middlemiss, Marks, 直線を母線として生成される回転面の例として、[[円柱 (数学)|円柱面]]および[[円錐|円錐面]]が、母線が軸に平行か否かに従って得られる（{{仮リンク|線織面|en|Ruled surface}}も参照）。円 …

== 測地線 == …

== 測地線 == …ent bundle}}および正準ベクトル場である。したがって定義より {{mvar|H}} は {{mvar|M}} 上の{{仮リンク|スプレー (数学)|label=スプレー|en|spray (mathematics)}}である。スプレー {{mvar|H}} は垂直投影を介して[[ファイバー束]] …

で与えられる。ここに ''x''_''i'' は全体空間における直交座標を意味する。円板模型における[[測地線]]は境界球面 ''S''^{''n''&minus;1} に直交する円によって与えられる。 …

(アフィン)[[測地線]] と呼ばれる曲線のクラスを規定する{{harv|Kobayashi|Nomizu|1996|loc=Volume 1, Chapter III}}。 ===測地線=== …

…するものを指す。キリング場は、[[等長写像|等長変換群]](isometry)の無限小生成子である。すなわち、キリング場により生成される[[フロー (数学)|フロー (幾何学)]]は、[[多様体]]上の等長写像の連続群を為す。より平易に表現すると、対象の上の各点をキリング場の方向に同じ距離だけ移動したとき === 測地線 === …

…[弦 (数学)|弦長]]）、球面上には直線が存在しないためこれとは異なる。 [[非ユークリッド幾何学|非ユークリッド空間]]では、直線を一般化した[[測地線]]を使用する。球面においては測地線は球の中心を中心とする円である[[球面#用語法|大円]]となるため、大円距離は大円上の2点間の[[弧 (幾何学)|弧 単位球面における大円の[[弦 (数学)|弦長]]<math>\Delta\sigma_\text{c}</math>と[[弧度]]<math>\Delta\sigma</math>との関係 …

{{Pathnavbox|{{Pathnav|[[数学]]|[[幾何学]]|[[多様体論]]|[[微分幾何学]]|[[接続 (微分幾何学)|接続]]|[[接続 (ベクトル束)|ベクトルバンドルの接続]]|ア また{{Mvar|∇}}をアフィン接続とするとき、{{Mvar|∇}}と（パラメータを込めて）同一の[[測地線]]<ref group="注">ここで「{{Mvar|∇}}と{{Mvar|∇'}}がパラメータを込めて同一の測地線を定める」は<math>P(s)< …

…|Wylie, Jr.|1964|pages=92—94}}。そしてほかのふたつの性質は平行線の公理からの帰結ということになる。ほかにも、[[傾き (数学)|傾き]]を測る操作を含めれば、直線が互いに平行ということをそれらの傾きが同じであることによって定義することができる。 [[非ユークリッド幾何学]]においては、直線の代わりに[[測地線]]に対して述べるのがより一般的で、測地線の意味で「直線」の語がしばしば用いられる。測地線とはすなわち与えられた幾何における二点間の最短経路を意味する。 …

エルゴード系は物理学や幾何学の幅広い分野で見られる。これは、粒子の運動、つまり[[双曲多様体]]上の[[測地線]]が発散する、という共通の現象によるものと大まかに理解できる。その多様体がコンパクト、つまり有限の大きさである場合、それらの軌道は同じ一般的な領域に戻 …

[[数学]]、とくに[[リーマン幾何学]]あるいは（[[局所コンパクト群|局所]]）[[コンパクト群]]の[[調和解析]]において'''上半平面'''（じょうは で与えられていて、実軸に近づくほどに空間が歪んでいる。双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」（[[測地線]]）は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周（直線も半径無限大であると見なして円に含める）である。上半平面を[[単位円板]] …

…'（クリストッフェルのさんそえじきごう、{{lang-en-short|Christoffel three index symbols}}）とは、[[測地線]]の微分方程式を表すにあたって[[エルウィン・ブルーノ・クリストッフェル|ブルーノ・クリストッフェル]] (1829–1900) によって導入された記 となる<ref group="注釈">詳しい導出は[[#矢野(1949)|矢野(1949)]] p.121 参照。</ref>。これを[[測地線]]の微分方程式と呼ぶ。なお、ここで …

…amma(1)</math> ただし <math>\gamma</math> は始点が単位元で（接ベクトルと考える）始速度が ''X'' の唯一の[[測地線]]である。 …th>\exp(t X) g</math> によって与えられる。ベクトル場 <math>X^{L,R}</math> によって生成される[[フロー (数学)|フロー]] <math>\xi^{L,R}</math> は次で与えられることが従う： …

[[数学]]における'''ポアンカレ計量'''（ポアンカレけいりょう、{{lang-en-short|''Poincaré metric''}}）は、[[アンリ この計量に対する[[測地線]]は、実軸に直交する円弧（原点が実軸上にある半円）および実軸上に端点を持つ垂直線である。 …

…ンジュほうていしき、{{lang-en-short|Euler–Lagrange equation}}）は、[[汎関数]]の停留値を与える[[関数 (数学)|関数]]を求める[[微分方程式]]である。[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]と[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]らの仕事により …ラー゠ラグランジュ方程式は[[シンプレクティック幾何学]]という、解析力学を起源とする数学の分野でも用いられる。また[[リーマン幾何学]]における[[測地線]]方程式は、曲線の長さをラグランジアンとした場合のオイラー゠ラグランジュ方程式である。なお、測地線は相対性理論では光の[[光路]]を表すので、これは[ …

== 測地線 == …

…sphere}}の特別の場合で、球面と中心を通らない平面との交線である「小円」と対照するものである。三次元[[ユークリッド空間]]内の任意の[[円 (数学)|円]]は、ただ一つの球の大円となる。 …距離」とするとき、それらを込めた意味での大円は{{ill2|リーマン円|en|Riemannian circle}}と呼ばれる。これら大円は球面の[[測地線]]である。 …

* {{Pathnav|[[数学]]|[[幾何学]]|[[多様体論]]|[[微分幾何学]]、[[微分位相幾何学]]|{{仮リンク|曲面の微分幾何学|label=ガウスの曲面論|en|D …つ（向きづけられた）多角形にリーマン計量を入れたもので、{{mvar|A}}が定曲率{{mvar|c}}を持ち、さらに{{mvar|A}}の各辺が[[測地線]]であるものとする。このとき次が成立する。ここで{{math|1=area(''A'')}}は{{mvar|A}}の面積である： …