ガウス関数の原始関数の一覧

テンプレート:ウィキプロジェクトリンク テンプレート:ウィキポータルリンク ガウス関数の原始関数の一覧（ガウスかんすうのげんしかんすうのいちらん）はガウス関数を含む式の原始関数の一覧である。

以下

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}$

を標準正規確率密度関数、

$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\varphi (t)dt=\frac{1}{2}(1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right))$

をその累積分布関数（テンプレート:Math は誤差関数）とする。また

$T(h,a)=\varphi (h){\int }_0^a\frac{\varphi (hx)}{1+x^2}dx$

はテンプレート:仮リンクとして知られるものである。

テンプレート:Harvtxt に幅広いガウス型積分の一覧がある。以下にその一部を示す。

不定積分

テンプレート:Math は二重階乗である。

$\int \varphi (x)dx=\mathrm{\Phi }(x)+C$

$\int x\varphi (x)dx=-\varphi (x)+C$

$\int x^2\varphi (x)dx=\mathrm{\Phi }(x)-x\varphi (x)+C$

$\int x^{2k+1}\varphi (x)dx=-\varphi (x)\sum _{j=0}^k\frac{(2k)!!}{(2j)!!}{x}^{2j}+C$

$\int x^{2k+2}\varphi (x)dx=-\varphi (x)\sum _{j=0}^k\frac{(2k+1)!!}{(2j+1)!!}{x}^{2j+1}+(2k+1)!!\mathrm{\Phi }(x)+C$

$\int \varphi (x{)}^{2}dx=\frac{1}{2\sqrt{\pi }}\mathrm{\Phi }\left(x\sqrt{2}\right)+C$

$\int \varphi (x)\varphi (a+bx)dx=\frac{1}{t}\varphi \left(\frac{a}{t}\right)\mathrm{\Phi }(tx+\frac{ab}{t})+C,t=\sqrt{1+b^2}$

$\int x\varphi (a+bx)dx=-\frac{1}{b^2}(\varphi (a+bx)+a\mathrm{\Phi }(a+bx))+C$

$\int x^2\varphi (a+bx)dx=\frac{1}{b^3}((a^2+1)\mathrm{\Phi }(a+bx)+(a-bx)\varphi (a+bx))+C$

$\int \varphi (a+bx{)}^{n}dx=\frac{1}{b\sqrt{n(2\pi {)}^{n-1}}}\mathrm{\Phi }(\sqrt{n}(a+bx))+C$

$\int \mathrm{\Phi }(a+bx)dx=\frac{1}{b}((a+bx)\mathrm{\Phi }(a+bx)+\varphi (a+bx))+C$

$\int x\mathrm{\Phi }(a+bx)dx=\frac{1}{2b^2}((b^2{x}^2-a^2-1)\mathrm{\Phi }(a+bx)+(bx-a)\varphi (a+bx))+C$

$\int x^2\mathrm{\Phi }(a+bx)dx=\frac{1}{3b^3}((b^3{x}^3+a^3+3a)\mathrm{\Phi }(a+bx)+(b^2{x}^2-abx+a^2+2)\varphi (a+bx))+C$

$\int x^n\mathrm{\Phi }(x)dx=\frac{1}{n+1}((x^{n+1}-n{x}^{n-1})\mathrm{\Phi }(x)+x^n\varphi (x)+n(n-1)\int x^{n-2}\mathrm{\Phi }(x)dx)+C$

$\int x\varphi (x)\mathrm{\Phi }(a+bx)dx=\frac{b}{t}\varphi \left(\frac{a}{t}\right)\mathrm{\Phi }(xt+\frac{ab}{t})-\varphi (x)\mathrm{\Phi }(a+bx)+C,t=\sqrt{1+b^2}$

$\int \mathrm{\Phi }(x{)}^{2}dx=x\mathrm{\Phi }(x{)}^2+2\mathrm{\Phi }(x)\varphi (x)-\frac{1}{\sqrt{\pi }}\mathrm{\Phi }\left(x\sqrt{2}\right)+C$

$\int e^{cx}\varphi (bx{)}^{n}dx=\frac{e^{\frac{c^2}{2n{b}^2}}}{b\sqrt{n(2\pi {)}^{n-1}}}\mathrm{\Phi }\left(\frac{b^{2}xn-c}{b\sqrt{n}}\right)+C,b\ne 0,n>0$

定積分

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\varphi (x{)}^{n}dx=\frac{1}{\sqrt{n^3(2\pi {)}^{n-1}}}$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\varphi (ax)\mathrm{\Phi }(bx)dx=\frac{1}{2\pi |a|}(\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\frac{b}{|a|}\right))$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\varphi (ax)\mathrm{\Phi }(bx)dx=\frac{1}{2\pi |a|}(\frac{\pi }{2}+\arctan \left(\frac{b}{|a|}\right))$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\varphi (x)\mathrm{\Phi }(bx)dx=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}(1+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}})$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\varphi (x)\mathrm{\Phi }(bx)dx=\frac{1}{4}+\frac{1}{2\pi }(\frac{b}{1+b^2}+\arctan (b))$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\varphi (x{)}^2\mathrm{\Phi }(x)dx=\frac{1}{4\pi \sqrt{3}}$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }(bx{)}^2\varphi (x)dx=\frac{1}{2\pi }(\arctan (b)+\arctan \sqrt{1+2b^2})$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }(a+bx{)}^2\varphi (x)dx=\mathrm{\Phi }\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}\right)-2T(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}},\frac{1}{\sqrt{1+2b^2}})$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\mathrm{\Phi }(a+bx{)}^2\varphi (x)dx=\frac{2b}{\sqrt{1+b^2}}\varphi \left(\frac{a}{t}\right)\mathrm{\Phi }\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+2b^2}}\right)$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }(bx{)}^2\varphi (x)dx=\frac{1}{\pi }\arctan \sqrt{1+2b^2}$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\varphi (x)\mathrm{\Phi }(bx)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\varphi (x)\mathrm{\Phi }(bx{)}^{2}dx=\frac{b}{\sqrt{2\pi (1+b^2)}}$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }(a+bx)\varphi (x)dx=\mathrm{\Phi }\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}\right)$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\mathrm{\Phi }(a+bx)\varphi (x)dx=\frac{b}{t}\varphi \left(\frac{a}{t}\right),t=\sqrt{1+b^2}$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\mathrm{\Phi }(a+bx)\varphi (x)dx=\frac{b}{t}\varphi \left(\frac{a}{t}\right)\mathrm{\Phi }(-\frac{ab}{t})+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{\Phi }(a),t=\sqrt{1+b^2}$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\ln (x^2)\frac{1}{\sigma }\varphi \left(\frac{x}{\sigma }\right)dx=\ln ({\sigma }^2)-\gamma -\ln 2\approx \ln ({\sigma }^2)-1.27036$

参考文献

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