ノイマン級数

関数解析学において、ノイマン級数（ノイマンきゅうすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。

定義

A をバナッハ空間 X での有界な線形作用素とする（A ∈ B(X)）。このとき、A の作用素ノルム ||A|| が ||A|| < 1 を満たすならば、恒等作用素 I との差で与えられる I − A は1対1で (I − A)⁻¹ が有界作用素として存在するとともに、

$\begin{array}{cc}(I-A{)}^{-1}& =I+A+A^2+A^3+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}^n\end{array}$

が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは

$\Vert (I-A{)}^{-1}\Vert \le \frac{1}{1-\Vert A\Vert }$

と評価される。

これは、|x| < 1 なる x ∈ C についての等比級数

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$

の作用素への拡張になっている。

特に z ∈ C と有界作用素 A について、|z| > ||A|| であれば、レゾルベント作用素 (zI − A)⁻¹ が存在し、

$(zI-A{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^{n+1}}{A}^n$

および

$\Vert (zI-A{)}^{-1}\Vert \le \frac{1}{|z|}\frac{1}{1-\frac{\Vert A\Vert }{|z|}}$

が成り立つ。

逐次近似との関係

バナッハ空間 X の元u、v と線形作用素 A で与えられる方程式

$u=Au+v$

を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は

$(I-A)u=v$

と変形できることから、逆作用素 (I − A)⁻¹ が存在し、それが求まれば、問題は解ける。 一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、

$\begin{array}{cc}u& =A(Au+v)+v\\ & =A^2(Au+v)+Av+v\\ & =v+Av+\cdots +A^{n}v+A^{n+1}u\end{array}$

となる。従って、Aⁿ⁺¹u の項が無視できるとすると

$u_n:=\sum _{i=0}^n{A}^{i}v$

で定義される u_n が逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n → ∞ で逐次近似解 u_n が真の解となり、

$u=(I-A{)}^{-1}v=v+Av+A^{2}v+\cdots$

となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解 u_n の誤差評価を行うこともでき、

$\Vert u-u_n\Vert \le \sum _{i=n+1}^{\mathrm{\infty }}\Vert A{\Vert }^i\cdot \Vert v\Vert =\frac{\Vert A{\Vert }^{n+1}}{1-\Vert A\Vert }\Vert v\Vert$

である。

積分方程式への応用

バナッハ空間 X を有限区間 [a, b] 上の連続関数からなる関数空間 C([a, b]) とし、 K (x, y) を [a, b] × [a, b] で定義された連続関数、f(x) を [a, b] 上の連続関数（f ∈ C([a, b])）とする。このとき、C([a, b]) において、フレドホルム型積分方程式

$u(x)-\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)u(y)dy=f(x)$

を考える。ここで、

$Ku:=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)u(y)dy$

としたときに、|λ|・||K|| < 1 の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解 u が一意的に存在し、ノイマン級数によって、

$\begin{array}{cc}u& =(1-\lambda K{)}^{-1}f\\ & =f+\lambda Kf+{\lambda }^2{K}^{2}f+\cdots \\ & =f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)f(y)dy+{\lambda }^2\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)K(z,y)dz)f(y)dy+\cdots \end{array}$

と表すことができる。

参考文献

• 藤田宏、伊藤清三、 黒田成俊 『関数解析 (岩波基礎数学選書)』岩波書店（1991）ISBN 978-4000078108
• 黒田成俊 『関数解析(共立数学講座 (15))』 共立出版（1980）ISBN 978-4320011069

関連項目

• 関数解析学 - 線形作用素
• 反復法 (数値計算)