ベッセルの不等式

数学の、特に函数解析学の分野におけるベッセルの不等式（ベッセルのふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）は、正規直交列についてのヒルベルト空間のある元 $x$ の係数に関する不等式である・

$H$ をヒルベルト空間とし、$e_1,e_2,...$ を $H$ 内の正規直交列とする。このとき、$H$ 内の任意の $x$ に対し

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|⟨x,e_k⟩\right|}^2\le {\Vert x\Vert }^2$

が成立する。ここで 〈•,•〉 はヒルベルト空間 $H$ の内積を表す。

$e_k$ 方向のベクトル $x$ の無限和

$x^{\prime }=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,e_k⟩e_k,$

を定義すると、ベッセルの不等式よりこの級数は収束する。基底 $e_1,e_2,...$ によって表現される $x^{\prime }\in H$ が存在するものと考えることが出来る。

完全正規直交列（すなわち、基底であるような正規直交列）に対しては、不等号が等号に置き換えられたパーセヴァルの等式が成り立つ（したがって $x^{\prime }$ は $x$ となる）。

ベッセルの不等式は、任意の自然数 n に対して成り立つ次の関係式より従う：

$0\le {\Vert x-\sum _{k=1}^n⟨x,e_k⟩e_k\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2+\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2.$

関連項目

• コーシー＝シュワルツの不等式

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• Bessel's Inequality the article on Bessel's Inequality on MathWorld.