ムーファン・ループ

テンプレート:Expand English テンプレート:Algebraic structures

数学において、テンプレート:読み仮名とは、特別な種類の代数構造である。多くの点で群に似ているが、必ずしも結合法則を満たさない。ムーファン・ループは、テンプレート:Harvs によって導入された。テンプレート:訳語疑問点範囲ムーファン・ループは、関連する代数であるテンプレート:Ill2 がある。それはリー群に関連するリー代数があるのと類似している。^{[原文 1]}

定義

ムーファン・ループ はループ $Q$ で、任意の $x$ , $y$ , $z$ に対して、以下の4つの同値な恒等式を満たすものである ( $Q$ の二項演算はテンプレート:訳語疑問点範囲で記述する)：

$x (y (x z)) = ((x y) x) z$ … (N2)
$y (x (z x)) = ((y x) z) x$ … (N1)
$(x y) (z x) = x ((y z) x)$ … (M1)
$(x y) (z x) = (x (y z)) x$ … (M2)

以後の説明の便宜上、式の後ろにつけた番号は、参考文献 Kunen (1995) に倣った。

例

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任意の群は、結合的であるから、従ってムーファン・ループである。
非ゼロな八元数は、乗算に関して、非結合的なムーファン・ループを成す。

性質

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結合性

ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない ^{[注釈 1]}。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる：

$x (x z) = (x x) z$ (式 (N2) において y := e を代入)
$y (x x) = (y x) x$ (式 (N1) において z := e を代入)
$x (y x) = (x y) x$ (式 (N2) において z := e を代入 or (N1) において y := e を代入 or (M1) において z := e を代入 or (M2) において y := e を代入)

ムーファンの定理は、ムーファン・ループにおける三つの元 x, y, z が結合法則 $(x y) z = x (y z)$ に従う場合、結合的な部分ループを生成すると述べている。テンプレート:訳語疑問点範囲 ^{[原文 2]}。

左右の乗算

可逆性

ラグランジュ性

ムーファン準群

このセクションでは、ループではなく準群の場合にどうなるか考察する。準群がムーファン恒等式の内の一つを満たす場合は、必ず単位元が存在することが示される^[1]。以下に、証明の一部 (Theorem 2.2) だけ述べる。Theorem 2.3 はより難しいので、参考文献を見よ。

$Q$ を準群とする。ムーファンの恒等式の内 (M1) が成り立つと仮定する。任意の $a \in Q$ を固定する。準群の定義によって、 $a e = a$ を満たす $e \in Q$ がただ一つ存在する。この時、任意の $x \in Q$ に対して、 $(x a) x = (x (a e)) x = (x a) (e x)$ が成り立つ^{[訳注 1]}。よって、準群の定義 (消去律) によって $x = e x$ が成り立つ。従って、 $e$ は左単位元である。

次に、再び準群の定義により、 $b e = e$ を満たす $b \in Q$ がただ一つ存在する。この時、 $(y b) e = (e (y b)) e = (e y) (b e) = y e$ が成り立つ^{[訳注 2]}。再び準群の簡約律より、 $y b = y$ が成り立つ。従って、 $b$ は右単位元である^{[訳注 3]}。さらに、 $b = e b = e$ であるから、 $e$ は(両側)単位元である。

(M2) $(x y) (z x) = x ((y z) x)$ だけを仮定する場合も、(式を鏡のように反転させて) 同様に証明できる。この場合は $a \in Q$ に対して、 $e a = a$ を満たす $e$ を取ると、 $x = x e \forall x \in Q$ 、つまり $e$ は右単位元であることが言える。先ほどと逆に $e b = e$ を満たす $b$ を取って、同じことをすれば、 $e = b$ が左単位元になることも言えるので、両側単位元である。

Open problems

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脚注

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注釈

テンプレート:Notelist

訳注

↑ 最初の等号は、ae = a を代入、二番目の等号は (M1): $(x y) (z x) = (x (y z)) x$ において $x : = x, y : = a, z : = e$ として適用した
↑ 最初の等号は $e$ が左単位元だから、二番目の等号は仮定した (M1) において $x : = e, y : = y, z : = b$ として適用、最後の等号は $e$ 左単位元であることと、 $b e = e$ による
↑ 参考文献 Kunen, K. (1995) の証明を和訳、記載したが、右単位元であることの証明は、Wikipedida 英語版 en:Moufang_loop#Moufang_quasigroups にある証明の方が簡潔である

↑ Smooth Moufang loops have an associated algebra, the Malcev algebra, similar in some ways to how a Lie group has an associated Lie algebra.
↑ A corollary of this is that all Moufang loops are di-associative (i.e. the subloop generated by any two elements of a Moufang loop is associative and therefore a group).

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

テンプレート:Refbegin

テンプレート:Refend

外部リンク

LOOPS package for GAP This package has a library containing all nonassociative Moufang loops of orders up to and including 81.
テンプレート:Planetmath reference

引用エラー: 「注釈」という名前のグループの <ref> タグがありますが、対応する <references group="注釈"/> タグが見つかりません

↑ Kunen, K. (1995) https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356, p2, Theorem 2.2 および 2.3

[5] 最初の等号は、ae = a を代入、二番目の等号は (M1): $(x y) (z x) = (x (y z)) x$ において $x : = x, y : = a, z : = e$ として適用した

[6] 最初の等号は $e$ が左単位元だから、二番目の等号は仮定した (M1) において $x : = e, y : = y, z : = b$ として適用、最後の等号は $e$ 左単位元であることと、 $b e = e$ による

[7] 参考文献 Kunen, K. (1995) の証明を和訳、記載したが、右単位元であることの証明は、Wikipedida 英語版 en:Moufang_loop#Moufang_quasigroups にある証明の方が簡潔である

[1] Smooth Moufang loops have an associated algebra, the Malcev algebra, similar in some ways to how a Lie group has an associated Lie algebra.

[3] A corollary of this is that all Moufang loops are di-associative (i.e. the subloop generated by any two elements of a Moufang loop is associative and therefore a group).

[Kunen,_K._(1996).-4] Kunen, K. (1995) https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.52.5356, p2, Theorem 2.2 および 2.3

[原文 1]

[注釈 1]

[原文 2]

[1]

[訳注 1]

[訳注 2]

[訳注 3]

ムーファン・ループ

目次

定義

例

性質

結合性

左右の乗算

可逆性

ラグランジュ性

ムーファン準群

Open problems

脚注

注釈

訳注

出典

関連項目

参考文献

外部リンク

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定義

例

性質

結合性

左右の乗算

可逆性

ラグランジュ性

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