ライプニッツの積分法則

テンプレート:導入部がない テンプレート:Expand English ライプニッツの積分法則（ライブニッツのせきぶんほうそく）とは、積分に対する微分を計算する法則。名称はゴットフリート・ライプニッツに由来する。

概要

　以下の様に積分が定義された場合、

$\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt,$ $-\mathrm{\infty }<a(x),b(x)<\mathrm{\infty }$ .

この積分の導関数は次のようにして得られる。

$\frac{d}{dx}(\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,b(x))\cdot \frac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot \frac{d}{dx}a(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt(1)$

　積分の上限と下限がxの関数ではなく定数の場合は、

$\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,t)dt)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt.$

となる。これは(1)式の第一項と二項の微分が零の場合と同じである。

　 $a(x)=a$ そして $b(x)=x$ の場合は、次のようになる。

$\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,x)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt,$

これは(1)式の第一項の微分が1、第一項の微分が零の場合と同じである。

関連項目

• ライプニッツの法則