リースの拡張定理

数学におけるリースの拡張定理（リースのかくちょうていり、テンプレート:Lang-en-short）は、テンプレート:仮リンクの研究の際にリース・マルツェルによって証明された定理である。

定理の内容

E を実ベクトル空間とし、F ⊂ E をその部分ベクトル空間とする。また K ⊂ E を凸錐とする。

線型汎函数 φ: F → R が K-正（K-positive）であるとは、錐 K 内のすべての点に対してそれが 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う：

$\varphi (x)\ge 0\text{for}x\in F\cap K.$

線型汎函数 ψ: E → R が φ の K-正拡張（K-positive extension）であるとは、それが φ の定義域においては φ に等しく、錐 K 内のすべての点に対して 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う：

$\psi {|}_F=\varphi \text{and}\psi (x)\ge 0\text{for}x\in K.$

一般に F 上の K-正線型汎函数は、E 上の K-正線型汎函数に拡張できるとは限らない。二次元の場合、そのような反例として、x-軸の負の開区間を除いた上半平面として K を取る場合が挙げられる。このとき F が実軸であるなら、正の線型汎函数 φ(x, 0) = x はその平面上の正の汎函数へ拡張することは出来ない。

しかし、次の仮定の下ではそのような拡張は存在する：すべての y ∈ E に対して、y − x ∈K を満たすある x∈F が存在する。すなわち、E = K + F である。

証明

超限帰納法により、dim E/F = 1 の場合のみを考えれば十分である。

ある y ∈ E/F を選ぶ。汎函数

$\psi {|}_F=\varphi ,\psi (y)=\sup \{\varphi (x)\mid x\in F,y-x\in K\}$

を定め、線型性によって ψ を E へ拡張する。ψ は K-正であることを示す。

K 内のすべての点 z は、x ∈ F に対し、x + y あるいは x − y のいずれかの正の線型倍である。一つ目の場合、z = a(y + x) となるので、y− (−x) = z/a  は K に属するとともに −x  は  F  に属する。したがって

$\psi (y)\ge \psi (-x)=-\psi (x)$

となり、ψ(z) ≥ 0 である。二つ目の場合、z = a(x − y) なので、y = x − z/a となる。今、z₁ = y − x₁ ∈ K および ψ(x₁) ≥ ψ(y) − ε を満たすものとして x₁ ∈ F を定める。このとき

$\psi (x)-\psi (x_1)=\psi (x-x_1)=\psi (z_1+z/a)=\varphi (z_1+z/a)\ge 0$

であり、したがって ψ(z) ≥ −a ε である。これは任意の ε > 0 に対して成立するため、ψ(z) ≥ 0 となる。

系：クレインの拡張定理

E を実線型空間とし、K ⊂ E を凸錐とする。R x + K = E を満たすものとして x ∈ E/(−K) を定める。このとき、ある K-正線型汎函数 φ: E → R が存在して φ(x) > 0 となる。

ハーン＝バナッハの定理との関係

ハーン＝バナッハの定理は、リースの拡張定理より導出することが出来る。

V を線型空間とし、N を V 上の劣線型函数とする。φ は部分空間 U ⊂ V 上の汎函数で N によって支配されるもの、すなわち

$\varphi (x)\le N(x),x\in U$

が成立するものとする。ハーン＝バナッハの定理では、この φ が N によって支配される V 上のある線型汎函数へ拡張できることが主張されている。

この事実をリースの拡張定理より導くために、凸錐 K ⊂ R×V を次のように定める。

$K=\{(a,x)\mid N(x)\le a\}.$

R×U 上の汎函数 φ₁ を次で定める。

${\varphi }_1(a,x)=a-\varphi (x).$

φ₁ は K-正であり、K + (R × U) = R × V となることが分かる。したがって φ₁ は R×V 上の K-正汎函数 ψ₁ に拡張することが出来る。このとき

$\psi (x)=-{\psi }_1(0,x)$

が求める φ の拡張である。実際、ψ(x) > N(x) であるなら (N(x), x) ∈ K が得られるが、これは

${\psi }_1(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0$

となり、矛盾が生じる。

参考文献

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