レスターの定理

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緑色の三角形のフェルマー点 $X_{13},X_{14}$、 九点円（薄い青の円）の中心 $X_5$、外心 $X_3$ はレスター円（黒い円）上にある。

平面幾何学におけるレスターの定理（レスターのていり、Lester's theorem）は、任意の不等辺三角形において外心・九点円の中心・2つのフェルマー点の4点が同一円上にあるという定理である。

この定理の名称は1997年テンプレート:Rに論文を発表したジューン・レスターに由来する。この4点を通る円は Clark Kimberling（英語）によってレスター円（Lester Circle）と命名されているテンプレート:R。

レスターはこの定理を複素数を用いて証明しているが、のちに初等幾何学を用いた証明テンプレート:R、ベクトルを用いた証明テンプレート:R、コンピュータによる証明テンプレート:Rが発表されている。

レスター円

レスター円は、不等辺三角形の外心・九点円の中心・2つのフェルマー点の4点を通る円である。Clark Kimberling によって命名された。また、氏のサイト「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(1116)として登録されている。

中心の重心座標は、以下の式で表される。

$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$

$f(a,b,c)=(b^2-c^2)(2(a^2-b^2)(c^2-a^2)+3R^2(2a^2-b^2-c^2)-a^2(a^2+b^2+c^2)+a^4+b^4+c^4)$

ここで、$a,b,c$ は3辺の長さ、$R$は外接円の半径である。

二等辺三角形の場合、4点が同一直線上に来るためこの円は定義できない。

拡張

Paul Yiu によれば、Bernard Gibert　は2000年にこの定理の拡張となる以下の事実を発表しているテンプレート:R。

直径の両端がキーペルト双曲線上にあり、かつその直径がオイラー線と直交する円は、2つのフェルマー点を通る。

Dao Thanh Oai は、直角双曲線を利用したさらなる一般化を発表したテンプレート:R。

直角双曲線上に以下の点を定義する

• H と G は双曲線の同じ側にある点である。
• Fテンプレート:Sub と Fテンプレート:Sub は、その点における双曲線の接線が HG と平行になる点である。2点は双曲線の中心に対して対称の位置にある。
• Kテンプレート:Sub と Kテンプレート:Sub は、その点における双曲線の接線が HG 上の点 E を通る点である。

Kテンプレート:SubKテンプレート:Sub とHG の交点を D とし、DE の垂直二等分線と双曲線の交点を Gテンプレート:Sub, Gテンプレート:Sub とする。6点 D, E, Fテンプレート:Sub, Fテンプレート:Sub, Gテンプレート:Sub, Gテンプレート:Sub は共円である。

外部リンク

• テンプレート:Mathworld