切断正規分布

切断正規分布 (せつだんせいきぶんぷ) は正規分布と似ているが、確率変数 $x$ の定義域が有限な確率分布である。上下とも有界 (テンプレート:Math) なものを二重に切断された正規分布、どちらか一方だけのものを単一切断正規分布という。

定義と性質

切断正規分布の確率密度関数は以下で定義される。

f (x; μ, σ, a, b) = \frac{\frac{1}{σ} ϕ (\frac{x - μ}{σ})}{Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ})}

ここで $ϕ (\cdot)$ は標準正規分布テンプレート:Math の確率密度関数、 $Φ (\cdot)$ は標準正規分布テンプレート:Math の累積分布関数である。

切断正規分布の期待値と分散は、二重に切断されている場合、

E (X | A < X < B) = μ + \frac{ϕ (\frac{a - μ}{σ}) - ϕ (\frac{b - μ}{σ})}{Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ})} σ

Var (X | A < X < B) = σ^{2} [1 + \frac{\frac{a - μ}{σ} ϕ (\frac{a - μ}{σ}) - \frac{b - μ}{σ} ϕ (\frac{b - μ}{σ})}{Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ})} - {(\frac{ϕ (\frac{a - μ}{σ}) - ϕ (\frac{b - μ}{σ})}{Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ})})}^{2}]

であり、単一切断正規分布の場合は

E (X | X > A) = μ + \frac{σ}{R (\frac{A - μ}{σ})}

Var (X | X > A) = σ^{2} [1 + \frac{\frac{A - μ}{σ}}{R (\frac{A - μ}{σ})} - {\frac{1}{R (\frac{A - μ}{σ})}}^{2}]

である。ここで

R (\frac{x - μ}{σ}) = \frac{1 - Φ (\frac{x - μ}{σ})}{ϕ (\frac{x - μ}{σ})}

は、ミルズ比である。