十八角形

十八角形（じゅうはちかくけい、じゅうはちかっけい、octadecagon、octakaidecagon）は、多角形の一つで、18本の辺と18個の頂点を持つ図形である。内角の和は2880°で、対角線の本数は135本である。

正十八角形

正十八角形においては、中心角と外角は20°で、内角は160°となる。一辺の長さが a の正十八角形の面積 S は

S = \frac{18}{4} a^{2} \cot \frac{π}{18} ≃ 25.52 a^{2}

で、外接円の半径 R は

R = \frac{a}{2} \csc \frac{π}{18} ≃ 2.8794 a

で与えられる。

$\cos (2 π / 18)$ を平方根と立方根で表すと、

\cos \frac{2 π}{18} = \cos \frac{π}{9} = \frac{\sqrt[3]{4 + 4 \sqrt{3} i} + \sqrt[3]{4 - 4 \sqrt{3} i}}{4} = \frac{\sqrt[3]{1 + \sqrt{3} i} + \sqrt[3]{1 - \sqrt{3} i}}{\sqrt[3]{2^{4}}} = \frac{\sqrt[3]{\frac{1 + \sqrt{3} i}{2}} + \sqrt[3]{\frac{1 - \sqrt{3} i}{2}}}{2} = \frac{\sqrt[3]{- ω^{2}} + \sqrt[3]{- ω}}{2} = 0.9396926 . . .

正十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。