弧 (射影幾何学)

有限射影幾何学における弧（こ、テンプレート:Lang-en-short) とはテンプレート:Mvar 次元の有限射影空間上の、どのようなテンプレート:Math 個の点も決して同一超平面（テンプレート:Nowrap、つまりテンプレート:Math 次元の部分空間）上にない点の集合である。

テンプレート:Math をさらに小さくすることはできない。テンプレート:Mvar 次元空間において、どのようなテンプレート:Mvar 個の点をとってきても、そのうちのテンプレート:Math 個の点が同一のテンプレート:Math 次元の部分空間に属さない限り、それらのテンプレート:Mvar 個の点を通るテンプレート:Math 次元超平面が一意に定まる。

有限射影平面における弧

特に、有限射影平面における弧とは有限射影平面上の、どの3点も同一直線状にない点の集合である。そのようなテンプレート:Mvar 個の点の集合を特にテンプレート:Mvar-弧というテンプレート:Harv。

テンプレート:Mvar-弧に対して、そのうちのちょうど2点を通る直線を割線 (secant)、ちょうど1点を通る直線を接線 (tangent)、どの点も通らない直線を外線 (exterior line)という。

位数テンプレート:Mvar の有限射影平面において弧の点の個数はテンプレート:Math 以下である。というのは、弧の任意の1点テンプレート:Mvar をとると、テンプレート:Mvar を通るテンプレート:Math 本の直線のそれぞれについて、弧に属する点はテンプレート:Mvar の他にあっても1点しか存在しないからである。位数テンプレート:Mvar の有限射影平面におけるテンプレート:Mvar-弧の割線、接線、外線の数はそれぞれ $(\binom{k}{2}), k (n + 2 - k), (\binom{n}{2}) + (\binom{n + 2 - k}{2})$ 本である。

テンプレート:Math-弧が存在するときテンプレート:Mvar は偶数でなければならない。というのはテンプレート:Math-弧テンプレート:Mvar の任意の1点テンプレート:Mvar をとると、上と同様にして、テンプレート:Mvar を通るテンプレート:Math 本の直線のそれぞれについて、テンプレート:Mvar と交わる点がテンプレート:Mvar 以外にちょうど1つずつ存在する。したがってテンプレート:Mvar の1点を通る直線はテンプレート:Mvar とちょうど2点で交わる。次にテンプレート:Mvar に属さない点テンプレート:Mvar を1つとる。テンプレート:Mvar を通る直線でテンプレート:Mvar と交わるものテンプレート:Math を考える。上記の理由から、各テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の交点はちょうど2つである。テンプレート:Mvar 上の各点について、その点とテンプレート:Mvar を通る直線はただ1つ存在する。よって、テンプレート:Math が成り立つので、テンプレート:Math は偶数でなければならない。

位数テンプレート:Mvar の有限射影平面においてテンプレート:Math-弧をオーバル、 (n + 2)-弧をハイパーオーバルという。オーバルの各点はちょうど1つの接線をもつ。テンプレート:Mvar が偶数のとき、これらの接線は1点で交わり、その1点を加えればハイパーオーバルを構成できる。

位数テンプレート:Mvar（テンプレート:Mvar は素数の冪とする）の有限体上の射影平面上の2次曲線はオーバルとなる。さらに、奇数位数の有限体上の射影平面上のオーバルはそのようなものに限る（テンプレート:仮リンク、テンプレート:Harv）。