準周期函数

数学における準周期函数（じゅんしゅうきかんすう、テンプレート:Lang-en-short）は、周期函数と似ているが、厳密な定義は異なる函数である。より正確に言うと、函数 $f$ が準周期 $\omega$ に対して準周期的であるとは、$f$ よりも「単純」なある函数 $g$ に対して $f(z+\omega )=g(z,f(z))$が成立することを言う。ここで「単純」が意味する所は曖昧であることに注意されたい。

簡単な例として、函数が次の方程式を満たす場合が挙げられる（しばしば算術的準周期函数と呼ばれる）：

$f(z+\omega )=f(z)+C.$

別の例として、函数が次の方程式を満たす場合が挙げられる（しばしば幾何的準周期函数と呼ばれる）：

$f(z+\omega )=Cf(z)$

有用な例として、次の函数が挙げられる：

$f(z)=\sin (Az)+\sin (Bz).$

この函数は比 A/B が有理数であるなら真の周期を持つが、A/B が無理数であるなら真の周期は持たない。しかしより正確になっていく「おおよその」周期の連続体は持つ。

このような一例として、ヤコビのテータ函数が挙げられる。その場合、

$\vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau )$

は、固定された τ に対して準周期 τ を持つことを意味する。また、この函数は周期 1 の周期函数でもある。その他の例として、二つの独立な準周期に対して準周期的なテンプレート:仮リンクが挙げられる。その周期は対応するワイエルシュトラスの楕円函数のものである。

加法的な函数方程式

$f(z+\omega )=f(z)+az+b$

を伴う函数もまた準周期的である。このような一例として、テンプレート:仮リンクが挙げられる。その場合

$\zeta (z+\omega )=\zeta (z)+\eta$

が固定された定数 η に対して成立する。ただし ω は対応するワイエルシュトラス ℘ 函数の周期である。

$f(z+\omega )=f(z)$ が成立するような特別な場合、f は周期 ω の周期函数であると言われる。

準周期信号

音響処理の意味での「準周期的信号」は、準周期函数ではない。むしろそれらは概周期函数に由来しているので、その点に関して文献を考慮されたい。より曖昧で、一般的なテンプレート:仮リンクの概念は、数学的な意味での準周期函数とすらあまり関連がない。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• 概周期函数

外部リンク

• Quasiperiodic function at PlanetMath