絶対差

実数 テンプレート:Mvar の絶対差を実数直線上のそれらの間の距離として図示したもの

数学における絶対差（ぜったいさ、テンプレート:Lang-en-short）は差の絶対値を言う。二つの実数 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar に対し、それらの絶対差 テンプレート:Math は実数直線において テンプレート:Mvar にそれぞれ対応する点の間の距離を記述する。これによって定まる距離は [[Lp空間|テンプレート:Mvar-距離]] (テンプレート:Math) の特別の場合であり、また有理数の全体 テンプレート:Mathbf あるいはその完備化である実数全体 テンプレート:Mathbf に標準的な距離空間の構造を定める。

任意の距離函数がそうであるように、この距離もまた以下の性質を満足する:

• 非負性: テンプレート:Math.
• 不可識別者同一性: テンプレート:Math.
• 対称性あるいは可換性: テンプレート:Math.
• 三角不等式: テンプレート:Math; 等号成立は テンプレート:Math のとき、かつそのときに限る。

単なる差をとったのでは、これと対照的に非負にも可換にもならないが、残り テンプレート:Math および テンプレート:Math は依然として成り立つ。

絶対差を用いてほかの量を定義することができる: 例えばテンプレート:Ill2、タクシー幾何における テンプレート:Math-ノルム、グラフ理論のテンプレート:Ill2など。

例えば計算にコストがかかるとか導函数が連続でないなどの理由で、絶対値函数が現れるのを避けたい場面では、しばしば以下の関係: $$|x-y|<|z-w|⟺(x-y{)}^2<(z-w{)}^2$$ が利用できる。これが成り立つ理由は テンプレート:Math であること、および平方する操作が非負実数の上で単調となることによる。

関連項目

• テンプレート:Ill2

外部リンク

• テンプレート:MathWorld