逆三角関数の原始関数の一覧

テンプレート:出典の明記 本項は逆三角関数を含む式の原始関数の一覧である。さらに完全な原始関数の一覧は、原始関数の一覧を参照のこと。

以下の全ての記述において、a は 0 でない実数とする。また、C は積分定数とする。

逆正弦関数の積分

$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

$\int \arcsin axdx=x\arcsin ax+\frac{\sqrt{1-a^2{x}^2}}{a}+C$

$\int x\arcsin axdx=\frac{x^2\arcsin ax}{2}-\frac{\arcsin ax}{4a^2}+\frac{x\sqrt{1-a^2{x}^2}}{4a}+C$

$\int x^2\arcsin axdx=\frac{x^3\arcsin ax}{3}+\frac{(a^2{x}^2+2)\sqrt{1-a^2{x}^2}}{9a^3}+C$

$\int x^m\arcsin axdx=\frac{x^{m+1}\arcsin ax}{m+1}-\frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2{x}^2}}dx(m\ne -1)$

$\int (\arcsin ax{)}^{2}dx=-2x+x(\arcsin ax{)}^2+\frac{2\sqrt{1-a^2{x}^2}\arcsin ax}{a}+C$

$\int (\arcsin ax{)}^{n}dx=x(\arcsin ax{)}^n+\frac{n\sqrt{1-a^2{x}^2}(\arcsin ax{)}^{n-1}}{a}-n(n-1)\int (\arcsin ax{)}^{n-2}dx$

$\int (\arcsin ax{)}^{n}dx=\frac{x(\arcsin ax{)}^{n+2}}{(n+1)(n+2)}+\frac{\sqrt{1-a^2{x}^2}(\arcsin ax{)}^{n+1}}{a(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\int (\arcsin ax{)}^{n+2}dx(n\ne -1,-2)$

逆余弦関数の積分

$\int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$

$\int \arccos axdx=x\arccos ax-\frac{\sqrt{1-a^2{x}^2}}{a}+C$

$\int x\arccos axdx=\frac{x^2\arccos ax}{2}-\frac{\arccos ax}{4a^2}-\frac{x\sqrt{1-a^2{x}^2}}{4a}+C$

$\int x^2\arccos axdx=\frac{x^3\arccos ax}{3}-\frac{(a^2{x}^2+2)\sqrt{1-a^2{x}^2}}{9a^3}+C$

$\int x^m\arccos axdx=\frac{x^{m+1}\arccos ax}{m+1}+\frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2{x}^2}}dx(m\ne -1)$

$\int (\arccos ax{)}^{2}dx=-2x+x(\arccos ax{)}^2-\frac{2\sqrt{1-a^2{x}^2}\arccos ax}{a}+C$

$\int (\arccos ax{)}^{n}dx=x(\arccos ax{)}^n-\frac{n\sqrt{1-a^2{x}^2}(\arccos ax{)}^{n-1}}{a}-n(n-1)\int (\arccos ax{)}^{n-2}dx$

$\int (\arccos ax{)}^{n}dx=\frac{x(\arccos ax{)}^{n+2}}{(n+1)(n+2)}-\frac{\sqrt{1-a^2{x}^2}(\arccos ax{)}^{n+1}}{a(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\int (\arccos ax{)}^{n+2}dx(n\ne -1,-2)$

逆正接関数の積分

$\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{\ln (x^2+1)}{2}+C$

$\int \arctan axdx=x\arctan ax-\frac{\ln (a^2{x}^2+1)}{2a}+C$

$\int x\arctan axdx=\frac{x^2\arctan ax}{2}+\frac{\arctan ax}{2a^2}-\frac{x}{2a}+C$

$\int x^2\arctan axdx=\frac{x^3\arctan ax}{3}+\frac{\ln (a^2{x}^2+1)}{6a^3}-\frac{x^2}{6a}+C$

$\int x^m\arctan axdx=\frac{x^{m+1}\arctan ax}{m+1}-\frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2{x}^2+1}dx(m\ne -1)$

逆余接関数の積分

$\int \mathrm{arccot}xdx=x\mathrm{arccot}x+\frac{\ln (x^2+1)}{2}+C$

$\int \mathrm{arccot}axdx=x\mathrm{arccot}ax+\frac{\ln (a^2{x}^2+1)}{2a}+C$

$\int x\mathrm{arccot}axdx=\frac{x^2\mathrm{arccot}ax}{2}+\frac{\mathrm{arccot}ax}{2a^2}+\frac{x}{2a}+C$

$\int x^2\mathrm{arccot}axdx=\frac{x^3\mathrm{arccot}ax}{3}-\frac{\ln (a^2{x}^2+1)}{6a^3}+\frac{x^2}{6a}+C$

$\int x^m\mathrm{arccot}axdx=\frac{x^{m+1}\mathrm{arccot}ax}{m+1}+\frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2{x}^2+1}dx(m\ne -1)$

逆正割関数の積分

$\int \mathrm{arcsec}xdx=x\mathrm{arcsec}x-\mathrm{arctanh}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+C$

$\int \mathrm{arcsec}axdx=x\mathrm{arcsec}ax-\frac{1}{a}\mathrm{arctanh}\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}+C$

$\int x\mathrm{arcsec}axdx=\frac{x^2\mathrm{arcsec}ax}{2}-\frac{x}{2a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}+C$

$\int x^2\mathrm{arcsec}axdx=\frac{x^3\mathrm{arcsec}ax}{3}-\frac{1}{6a^3}\mathrm{arctanh}\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}-\frac{x^2}{6a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}+C$

$\int x^m\mathrm{arcsec}axdx=\frac{x^{m+1}\mathrm{arcsec}ax}{m+1}-\frac{1}{a(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}}dx(m\ne -1)$

逆余割関数の積分

$\int \mathrm{arccsc}xdx=x\mathrm{arccsc}x+\ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C=x\mathrm{arccsc}x+\mathrm{arccosh}(x)+C$

$\int \mathrm{arccsc}axdx=x\mathrm{arccsc}ax+\frac{1}{a}\mathrm{arctanh}\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}+C$

$\int x\mathrm{arccsc}axdx=\frac{x^2\mathrm{arccsc}ax}{2}+\frac{x}{2a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}+C$

$\int x^2\mathrm{arccsc}axdx=\frac{x^3\mathrm{arccsc}ax}{3}+\frac{1}{6a^3}\mathrm{arctanh}\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}+\frac{x^2}{6a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}+C$

$\int x^m\mathrm{arccsc}axdx=\frac{x^{m+1}\mathrm{arccsc}ax}{m+1}+\frac{1}{a(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2{x}^2}}}dx(m\ne -1)$