運動学的回折理論

テンプレート:複数の問題 運動学的回折理論（うんどうがくてきかいせつりろん、テンプレート:Lang-en-short）とは、回折現象を扱うときに一回散乱（回折）のみを考慮（ボルン近似）し、回折による入射光の減少を考慮しない理論のこと。

一方で、多重散乱を考慮した理論のことを動力学的回折理論という。

散乱確率の低いX線回折や中性子回折では運動学的な理論で概ね説明ができる。散乱確率の高い電子線回折では、動力学的な理論による取り扱いが必要となる。

電子の運動学的回折理論

原子による散乱

テンプレート:Main 1つの原子による電子の弾性散乱では、相互作用ポテンシャルを テンプレート:Math とすると、散乱波の波動関数は次のように表される。

$\psi (𝐫)=e^{ikz}+f(\theta ,\varphi )\frac{e^{i𝐤\cdot 𝐫}}{|𝐫|}$

ここで テンプレート:Math は原子による散乱振幅で、原子散乱因子と呼ばれる。たとえば原子による電子散乱では、原子散乱因子は原子ポテンシャルのフーリエ変換である。

$f(\theta ,\varphi )=-\frac{m}{2\pi {\hslash }^2}\int V({𝐫}^{\prime })e^{i𝐊\cdot {𝐫}^{\prime }}d{𝐫}^{\prime }$

ここで テンプレート:Mathbf は入射波と散乱波との差を表すベクトルであり、散乱ベクトルと呼ばれる。散乱強度（散乱断面積）は原子散乱因子を用いて次のように表される。

$I(\theta ,\varphi )=|f(\theta ,\varphi ){|}^2$

結晶構造因子

結晶による電子散乱では、テンプレート:Math を結晶による相互作用ポテンシャルに置き換えればよい。結晶における テンプレート:Math は次のような並進対称性を持つ。

$V(𝐫)=V(𝐫+n_1{𝐚}_1+n_2{𝐚}_2+n_3{𝐚}_3)$

ここで次式で定義される結晶構造因子を導入する。

$F=-\frac{m}{2\pi {\hslash }^2}\underset{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}{\int }V(𝐫)e^{i𝐊\cdot 𝐫}d𝐫$

すると結晶による散乱強度（回折強度）は結晶構造因子の絶対値の2乗に比例することがわかる。

$I_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}(\theta ,\varphi )=|F{|}^2\prod _{i=1}^3\frac{{\sin }^2(N_i𝐊\cdot {𝐚}_i/2)}{{\sin }^2(𝐊\cdot {𝐚}_i/2)}$

つまり結晶全体の構造因子は、単位格子内の基本構造の干渉を表す結晶構造因子と、格子による干渉を表す関数（平行6面体の場合はラウエ関数、回折条件についての情報を含む）との積で表される。

回折条件

回折強度の式に含まれる次の関数を考える。

$\frac{{\sin }^2(N_i𝐊\cdot {𝐚}_i/2)}{{\sin }^2(𝐊\cdot {𝐚}_i/2)}$

これは テンプレート:Mvar が十分に大きければ、テンプレート:Math（ただし テンプレート:Mvar は整数）でのみ値を持ち、それ以外は0であるデルタ関数となる。よって回折強度が0でない条件（回折条件）は、次のラウエ条件で与えられる。

$𝐊\cdot {𝐚}_i=2\pi \times n$

このことは、結晶の逆格子ベクトル テンプレート:Math と散乱ベクトル テンプレート:Math が一致することと同等であるテンプレート:Sfnp。

${𝐆}_{hkl}=𝐊$

このことを逆格子空間で考えると、エワルド球上に逆格子点が存在していることに対応している。

またこの式の両辺の絶対値をとるとブラッグの法則が得られる。

X線の運動学的回折理論

電子によるX線散乱では、原子散乱因子は電子密度のフーリエ変換となる。そこからX線での結晶構造因子を導入すると、電子回折と同様の議論ができる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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