Σ集合環のソースを表示

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[[数学]]における '''σ-集合環'''（シグマしゅうごうかん、{{lang-en-short|''σ-ring [of sets]''}}）あるいは '''σ-環'''は、[[完全加法族|{{mvar|σ}}-集合代数]]（あるいはトライブ<ref>{{mvar|σ}}-集合環のことをトライブ (tribe) と呼ぶものもある。{{citation|author=Malempati Madhusudana Rao|title=Measure theory and integration|year=1987|publisher=Wiley|at=p.15 の注}}</ref>）より少し一般の定義を持つ集合族で、今日では {{mvar|σ}}-集合代数によって展開されることの多い[[測度論]]は、{{mvar|σ}}-集合環を用いて定式化することもできる。

== 定義、例、性質 ==
[[file:Frechet.jpeg|thumb|right|[[モーリス・フレシェ]]は1915年、{{mvar|σ}}-集合環を最初に用いた人物]]

; 定義 : 集合 ''X'' 上の {{mvar|σ}}-集合環とは、可算合併に関して閉じている[[集合環]]を言う<ref>{{mvar|σ}}-集合環の定義は測度論の形成において遍在している。例えば {{Ouvrage|lang=en|prénom=Paul|nom=Halmos|titre=Measure Theory | sous-titre = | numéro d'édition = | éditeur = Van Nostrand | lieu = | année = 1950 | pages totales = | lire en ligne = }} p. 24</ref>

* 任意の[[完全加法族|{{mvar|σ}}-集合代数]]は {{mvar|σ}}-集合環である。集合代数が全体集合 {{mvar|X}} を含む[[集合環]]であったと同様に、σ-集合代数は全体集合 {{mvar|X}} を含む {{mvar|σ}}-集合環を言う。
* 有限集合上の集合環は {{mvar|σ}}-集合環になる。集合代数を成さない有限集合上の集合環は、{{mvar|σ}}-集合代数でない {{mvar|σ}}-集合環の例を与える。例えば二元集合 {{math|{{mset|''a'', ''b''}}}} の集合環 {{math|{{mset|&empty;, {{mset|''a''}}}}}} は {{mvar|σ}}-集合環だが {{mvar|σ}}-集合代数でない。
* 任意の集合 {{mvar|X}} 上の高々可算な部分集合全体の成す族 {{math|&Rho;}} は {{mvar|σ}}-集合環であり、これが生成する {{mvar|σ}}-集合代数 {{math|&Sigma;}} は<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\Sigma = \{A \in \mathcal{P}(X)\mid A \text{ or }A^c \in \Rho \}</math></div>で与えられる。{{mvar|X}} が非可算無限集合ならば、{{math|&Rho;}} は {{math|&Sigma;}} に真に含まれ、{{math|&Rho;}} は {{mvar|σ}}-集合代数ではない {{mvar|σ}}-集合環の例を与える。
* [[ブール環]]と見て、集合代数は交叉に関する[[単位元]]を持つ。より一般の集合環は（特に {{mvar|σ}}-集合環は）、上記 {{math|{{mset|&empty;, {{mset|''a''}}}}}} の例のように単位元を持つものもあれば、次の例のように単位元を持たないものもある。集合環 {{math|&Tau;}} が交叉に関する単位元を持つ必要十分条件が<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\bigcup_{A\in\Tau} A \in\Tau</math></div>であることを見るのは易しい。{{mvar|X}} 上の {{mvar|σ}}-集合環が交叉に関する単位元 {{mvar|Y}} を持てば、実は {{mvar|Y}} 上の {{mvar|σ}}-集合代数になる。<ref>この注意については {{Ouvrage|author1-link=アンドレイ・コルモゴロフ|author1=A. Kolmogorov|author2-link=:fr:Sergueï Fomine|author2=S. Fomine| titre = Éléments de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle | sous-titre = | numéro d'édition = | lien éditeur = ミール出版所 | éditeur = Éditions Mir | lieu = | année = 1977 | pages totales = | passage = | lire en ligne = }} に単位元の存在が、また {{harvp|Halmos|1950|p=73}}, に {{mvar|σ}}-集合環の元の和についての条件が書かれている。</ref>。
* 任意の {{mvar|σ}}-集合環は {{mvar|δ}}-集合環である<ref>{{Ouvrage | langue = en | prénom1 = | nom1 = | auteur = Karen Saxe | titre = Beginning functional analysis | éditeur = Springer | lieu = New York | année = 2002 | pages totales = | isbn = 978-0-387-95224-6 | lccn = 00067916 | at=exercice 3.2.1, p. 69}}</ref>が逆は真ではない（[[δ集合環|{{mvar|δ}}-集合環]]の項を参照）。

== 測度論における用例 ==
1915年に[[モーリス・フレシェ|フレシェ]]は、今日知られているものと程近い測度の定義を提唱し、それは実数とは無関係に「抽象的な集合」が扱われた最初であった。フレシェの論文では {{mvar|σ}}-集合環の名称はまだ使われていない<ref>{{Ouvrage | langue = | prénom1 = | nom1 = | auteur = Jean-Paul Pier | titre = Histoire de l'intégration. Vingt-cinq siècles de mathématiques | sous-titre = | éditeur = Masson | lieu = | année = 1996 | pages totales = | isbn =978-2-22585324-1| passage =165 | lire en ligne = }} に {{citation | langu = | first = Maurice | last =  Fréchet | title =  Sur l'intégrale d'une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait | publisher =[[Bulletin de la Société mathématique de France]] | volume = XLIII | year = 1915 | pages = 248-265}} への言及がある。</ref>。20世紀の中ごろまでは、測度論の説明に {{mvar|σ}}-集合代数ではなく {{mvar|σ}}-集合環がしばしば用いられていた<ref>故に{{harvp|Halmos|1950|p=73}}は「可測空間」を単位元を持つ {{mvar|σ}}-集合環によって定義しており、また {{Ouvrage|lang=en|prénom1=Sterling|nom1=Berberian | titre = Measure and Integration | sous-titre = | numéro d'édition = | éditeur = MacMillan | lieu = | année = 1965 | pages totales = | lire en ligne = }} p. 35 は必ずしも単位元を持たない {{mvar|σ}}-集合環を使って「可測空間」を定めている。</ref>。

{{mvar|σ}}-集合代数でない {{mvar|σ}}-集合環 {{math|&Sigma;}} 上で定義された測度 {{mvar|&mu;}} が与えられたとき、それを {{mvar|σ}}-集合代数上へ拡張する方法は少なくとも二種類考えられる。一つは、{{mvar|σ}}-集合環を {{mvar|δ}}-集合環として考え、[[δ集合環|δ-集合環]]の項に言う方法で局所可測集合全体の成す {{mvar|σ}}-集合代数へ {{mvar|&mu;}} を延長する。いま一つは {{mvar|&mu;}} を {{math|&Sigma;}} の生成する {{mvar|σ}}-集合代数 {{math|''σ''(&Sigma;)}} まで延長するために、まだ測度の定義されていない集合に関しては測度が {{math|+&infin;}} であると定める方法である。これら二つは、同じ {{mvar|σ}}-集合代数を生成した場合でも、必ずしも同じ延長を与えるものではない {{mvar|X}} が非可算無限集合であるとき、{{mvar|X}} 上の高々可算部分集合全体の成す {{mvar|σ}}-集合環 {{math|&Rho;}} とその上の測度 {{mvar|&mu;}} は零測度を考えると、前者の方法では {{mvar|&mu;}} は（{{mvar|X}} の部分集合全体の成す {{mvar|σ}}-集合代数上で）零測度に延長されるが、後者は補可算または補有限な集合の測度が無限大になる<ref>{{harvp|Berberian|1965|pp=35-36}}</ref>。

== 注釈 ==
<references />
{{DEFAULTSORT:Sしくましゆうこうかん}}
[[Category:測度論]]
[[Category:集合族]]
[[Category:数学に関する記事]]