Σ集合環

テンプレート:小文字 数学における σ-集合環（シグマしゅうごうかん、テンプレート:Lang-en-short）あるいは σ-環は、[[完全加法族|テンプレート:Mvar-集合代数]]（あるいはトライブ）より少し一般の定義を持つ集合族で、今日では テンプレート:Mvar-集合代数によって展開されることの多い測度論は、テンプレート:Mvar-集合環を用いて定式化することもできる。

定義、例、性質

モーリス・フレシェは1915年、テンプレート:Mvar-集合環を最初に用いた人物

定義

集合 X 上の テンプレート:Mvar-集合環とは、可算合併に関して閉じている集合環を言う

• 任意の[[完全加法族|テンプレート:Mvar-集合代数]]は テンプレート:Mvar-集合環である。集合代数が全体集合 テンプレート:Mvar を含む集合環であったと同様に、σ-集合代数は全体集合 テンプレート:Mvar を含む テンプレート:Mvar-集合環を言う。
• 有限集合上の集合環は テンプレート:Mvar-集合環になる。集合代数を成さない有限集合上の集合環は、テンプレート:Mvar-集合代数でない テンプレート:Mvar-集合環の例を与える。例えば二元集合 テンプレート:Math の集合環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar-集合環だが テンプレート:Mvar-集合代数でない。
• 任意の集合 テンプレート:Mvar 上の高々可算な部分集合全体の成す族 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar-集合環であり、これが生成する テンプレート:Mvar-集合代数 テンプレート:Math は
  $\mathrm{\Sigma }=\{A\in 𝒫(X)\mid A\text{ or }{A}^c\in \mathrm{P}\}$
  で与えられる。テンプレート:Mvar が非可算無限集合ならば、テンプレート:Math は テンプレート:Math に真に含まれ、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar-集合代数ではない テンプレート:Mvar-集合環の例を与える。
• ブール環と見て、集合代数は交叉に関する単位元を持つ。より一般の集合環は（特に テンプレート:Mvar-集合環は）、上記 テンプレート:Math の例のように単位元を持つものもあれば、次の例のように単位元を持たないものもある。集合環 テンプレート:Math が交叉に関する単位元を持つ必要十分条件が
  $\bigcup _{A\in \mathrm{T}}A\in \mathrm{T}$
  であることを見るのは易しい。テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-集合環が交叉に関する単位元 テンプレート:Mvar を持てば、実は テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-集合代数になる。。
• 任意の テンプレート:Mvar-集合環は テンプレート:Mvar-集合環であるが逆は真ではない（[[δ集合環|テンプレート:Mvar-集合環]]の項を参照）。

測度論における用例

1915年にフレシェは、今日知られているものと程近い測度の定義を提唱し、それは実数とは無関係に「抽象的な集合」が扱われた最初であった。フレシェの論文では テンプレート:Mvar-集合環の名称はまだ使われていない。20世紀の中ごろまでは、測度論の説明に テンプレート:Mvar-集合代数ではなく テンプレート:Mvar-集合環がしばしば用いられていた。

テンプレート:Mvar-集合代数でない テンプレート:Mvar-集合環 テンプレート:Math 上で定義された測度 テンプレート:Mvar が与えられたとき、それを テンプレート:Mvar-集合代数上へ拡張する方法は少なくとも二種類考えられる。一つは、テンプレート:Mvar-集合環を テンプレート:Mvar-集合環として考え、δ-集合環の項に言う方法で局所可測集合全体の成す テンプレート:Mvar-集合代数へ テンプレート:Mvar を延長する。いま一つは テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の生成する テンプレート:Mvar-集合代数 テンプレート:Math まで延長するために、まだ測度の定義されていない集合に関しては測度が テンプレート:Math であると定める方法である。これら二つは、同じ テンプレート:Mvar-集合代数を生成した場合でも、必ずしも同じ延長を与えるものではない テンプレート:Mvar が非可算無限集合であるとき、テンプレート:Mvar 上の高々可算部分集合全体の成す テンプレート:Mvar-集合環 テンプレート:Math とその上の測度 テンプレート:Mvar は零測度を考えると、前者の方法では テンプレート:Mvar は（テンプレート:Mvar の部分集合全体の成す テンプレート:Mvar-集合代数上で）零測度に延長されるが、後者は補可算または補有限な集合の測度が無限大になる。