Τ (数学定数)のソースを表示

{{小文字}}
'''''{{tau}}'''''（タウ）は、一部の研究者により、現在の[[円周率]] ''{{pi}}'' に代わるべき[[数学定数]]として提唱されている数であり、[[円 (数学)|円]]の[[半径]]に対する[[周長]]の比として定義される定数である。その値は {{Math|2''&pi;''}} に等しい。2015年現在、このような定数としての ''{{tau}}'' は論文等で一般的に使用されていない。

== 提唱者の主張 ==
[[ファイル:Tau-angles.svg|thumb|right|[[ラジアン|弧度法]]での角度表記にτを使用した例]]
[[2001年]]、[[ユタ大学]]のBob Palaisがエッセイ "[[#Palais2001|''{{pi}}'' is wrong!]]" の中で、''{{pi}}'' は円周率として採用するには不自然かつ分かり難い選択であり、円周率としてより自然な定義は半径に対する円周の長さの比であると主張した。Palaisの論文を受け、Michael Hartlは自身のウェブサイト "[[#TauManifesto|The ''{{tau}}'' manifesto]]" において、この定数の記号としてギリシア文字の ''{{tau}}'' を採用することを提唱した。さらにHartlは記号として ''{{tau}}'' を使用する他の定数や変数との混乱の可能性についても考察している。

Hartlは、''{{pi}}'' の代わりに ''{{tau}}'' を採用することによるいくつかの利点を挙げている。

例えば、[[三角関数]]の周期が {{Math|2''&pi;''}} の代わりに ''{{tau}}'' になると
{{Indent|<math>\sin (x+\tau )=\sin x</math>}}
となり、[[オイラーの等式]]は
{{Indent|<math>e^{i\tau}=1</math>}}
と簡単かつ本質的な表現になる{{R|Palais2001|Abbott2012}}<ref group="注">本来のオイラーの等式は {{math|''e{{Sup|i&pi;}}'' {{=}} &minus;1}} と表記されるが、Hartlはオイラーの等式をある特別な値に対する[[複素指数関数]]に関する式というよりも、円周率に関する複素指数関数の式として定義されるものと捉え、その意味で本来のオイラーの等式における ''{{pi}}'' を ''{{tau}}'' で置き換えたこの式を"オイラーの等式"と呼ぶのが相応しいと主張している。</ref>。

また、円の面積は
{{Indent|<math>\frac{1}{2}\tau r^2</math>}}
と表示されるが、これは[[運動エネルギー]]の式 
{{Indent|<math>\frac{1}{2}mv^2</math>}}
や、自由落下する物体の移動距離
{{Indent|<math>\frac{1}{2}gt^2</math>}}
など同様の簡単な[[積分]]で導出できる{{R|Palais2001}}。

しかし、2011年現在、''{{tau}}'' のこのような使用は、主流な数学の中では採用されていない{{R|TelegraphIndia2011-06-30}}。

1958年に Albert Eagle は ''{{pi}}'' の代わりに {{Math|''&tau;'' {{=}} {{Sfrac|''&pi;''|2}}}} を使うべきだと主張したが{{R|AE1958}}、そのような著者は他にいない。
{| class="wikitable" style="border: none;"
!式
!''{{pi}}''を使った場合
!{{math|''τ''}}を使った場合
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |円の1/4を成す角度
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>{\color{orangered}\frac{\pi}{2}} \text{ rad}</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>{\color{orangered}\frac{\tau}{4}} \text{ rad}</math>
|-
| style="text-align: center; padding-right: 0.5em;" |円周
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>C = {\color{orangered}2 \pi} r</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>C = {\color{orangered}\tau} r</math><ref group="注">[[扇形]]の弧長公式<math>L = \theta r</math>と同じ形である。</ref>
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |[[円の面積]]
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>A = {\color{orangered}\pi}r^2</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>A = {\color{orangered}\frac{1}{2} \tau} r^2</math>
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |単位円周半径を持つ[[正n角形]]の面積
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>A = \frac{n}{2} \sin \frac{{\color{orangered}2 \pi}}{n}</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>A = \frac{n}{2} \sin \frac{{\color{orangered}\tau}}{n}</math>
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |[[超球面|n球とn球の体積再帰関係]]
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>V_n(r) = \frac{r}{n} S_{n-1}(r)</math><math>S_n(r) = {\color{orangered} 2 \pi} r V_{n-1}(r)</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>V_n(r) = \frac{r}{n} S_{n-1}(r)</math><math>S_n(r) = {\color{orangered}\tau}rV_{n-1}(r)</math><ref group="注"><math>S_2, V_3</math>について、[[アルキメデス]]の導出した「球の[[表面積]]はそれに[[外接]]する[[円柱 (数学)|円柱]]の[[側面積]]に等しい」「球の体積はそれに外接する円柱の体積の<math>\frac{2}{3}</math>倍である」という性質が係数に現れる。</ref>
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |[[コーシーの積分公式]]
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>f(a) = \frac{1}{{\color{orangered}2\pi} i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\, dz</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>f(a) = \frac{1}{{\color{orangered}\tau} i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\, dz</math>
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |[[標準正規分布]]の[[確率密度関数]]
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{{\color{orangered}2\pi}}}e^{-\frac{x^2}{2}}</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{{\color{orangered}\tau}}}e^{-\frac{x^2}{2}}</math>
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |[[スターリングの近似]]
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>n! \sim \sqrt{{\color{orangered}2 \pi} n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>n! \sim \sqrt{{\color{orangered}\tau} n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |[[1の冪根|πn乗根]]
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>e^{{\color{orangered}2 \pi} i \frac{k}{n}} = \cos\frac{{\color{orangered}2} k {\color{orangered}\pi}}{n} + i \sin\frac{{\color{orangered}2} k {\color{orangered}\pi}}{n}</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>e^{{\color{orangered}\tau} i \frac{k}{n}} = \cos\frac{k {\color{orangered}\tau}}{n} + i \sin\frac{k {\color{orangered}\tau}}{n}</math>
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |[[プランク定数]]
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>h = {\color{orangered}2 \pi} \hbar</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>h = {\color{orangered}\tau} \hbar</math>
|-
| style="text-align: center; padding-left: 0.fem; padding-right: 0.5em;" |[[角周波数]]
| style="text-align: center; border-style: solid none solid none; padding-left: 0.5em;" |<math>\omega = {\color{orangered}2 \pi} f</math>
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 0.5em;" |<math>\omega = {\color{orangered}\tau} f</math>
|-
| style="text-align:center;" | [[逆格子ベクトル]]
| style="text-align:center;" |<math>\mathbf{G}_m \cdot \mathbf{R}_n = {\color{orangered}2 \pi} N_{mn}</math>
| style="text-align:center;" | <math>\mathbf{G}_m \cdot \mathbf{R}_n = {\color{orangered}\tau} N_{mn}</math>
|-
| style="text-align:center;" | [[断面二次極モーメント]]
| style="text-align:center;" |<math>I_p = \frac{{\color{orangered} \pi}d^4}{{\color{blue}32}}</math>
| style="text-align:center;" | <math>I_p = \frac{{\color{orangered} \tau}d^4}{{\color{blue}64}} = {\color{orangered}\tau} \left( \frac{d}{2} \right)^4</math>
|-
| style="text-align:center;" | [[フーリエ変換]]・フーリエ逆変換
| style="text-align:center;" |<math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{- {\color{orangered}2\pi} i x \xi}\,dx</math>
<math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{ {\color{orangered}2 \pi} i x \xi}\,d\xi</math>
| style="text-align:center;" | <math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{- {\color{orangered}\tau} i x \xi}\,dx</math>
<math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{ {\color{orangered}\tau} i x \xi}\,d\xi</math>
|-
| style="text-align:center;" | [[無限乗積]]
| style="text-align:center;" |<math>\prod_{k=1}^{\infty} k = \sqrt{{\color{orangered}2\pi}}</math>
<math>\prod_{p} = ({\color{orangered}2\pi})^2</math>
| style="text-align:center;" | <math>\prod_{k=1}^{\infty} k = \sqrt{{\color{orangered}\tau}}</math>
<math>\prod_{p} = {\color{orangered}\tau}^2</math>
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{reflist|refs=
<ref name=AE1958>{{Harvtxt|Eagle|1958|p=ix}}</ref>
<ref name="Palais2001">[[#Palais2001|Palais (2001)]]</ref>
<ref name="Abbott2012">{{harvtxt|Abbott|2012}}</ref>
<ref name="TelegraphIndia2011-06-30">[[#TelegraphIndia2011-06-30|Telegraph India (2011-06-30)]]</ref>
}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|last=Eagle|first=Albert|title=The Elliptic Functions as They Should be: An Account, with Applications, of the Functions in a New Canonical Form|year=1958|publisher=Galloway and Porter, Ltd.|isbn=978-0852500002|asin=0852500009|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Abbott|first=Stephen|title=My Conversion to Tauism|location=[[ワシントンD.C.|Washington, D.C.]]|publisher={{enlink|Mathematical Association of America|MAA|p=off|s=off}}|journal={{enlink|Math Horizons|p=off|s=off}}|month=April|year=2012|volume=19|issue=4|page=34|doi=10.4169/mathhorizons.19.4.34|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Mathhorizons/apr12_aftermath.pdf|format=[[Portable Document Format|PDF]]|jstor=10.4169/mathhorizons.19.4.34|issn=1072-4117|oclc=28941388|ref=harv}}
* {{cite journal|last=Palais|first=Bob|title=''{{pi}}'' is wrong!|publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer-Verlag]]|journal={{enlink|The Mathematical Intelligencer|p=off|s=off}}|month=January|year=2001|volume=23|issue=3|pages=7–8|doi=10.1007/BF03026846|url=http://www.math.utah.edu/~palais/pi.pdf|format=[[Portable Document Format|PDF]]|issn=0343-6993|ref=Palais2001}}
* {{cite news|url=http://www.telegraphindia.com/1110630/jsp/nation/story_14178997.jsp|accessdate=2015-01-10|title=Life of pi in no danger – Experts cold-shoulder campaign to replace with tau|location=[[コルカタ|Calcutta]]|publisher={{enlink|ABP Group|ABP Pvt. Ltd.|p=off|s=off}}|newspaper={{enlink|The Telegraph (Calcutta)|Telegraph India|p=off|s=off}}|date=2011-06-30|oclc=271717941|ref=TelegraphIndia2011-06-30}}
* {{cite web|author=Michael Hartl|url=http://tauday.com/tau-manifesto|title=The tau manifesto|date=2013-03-14|accessdate=2015-01-10|ref=TauManifesto}}
* {{cite web|author=Randyn Charles Bartholomew|title=Why tau trumps pi|url=http://www.scientificamerican.com/article/let-s-use-tau-it-s-easier-than-pi/|accessdate=2015-01-10|date=2014-06-25|publisher=Scientific American|volume=|issue=|page=|doi=|ref=Bartholomew2014}}

== 関連項目 ==
*[[円周率]]

== 外部リンク ==
*[http://www.tauday.com/ The tau manifesto by Michael Hartl]
*[http://www.math.utah.edu/~palais/pi.html "''{{pi}}'' is wrong!” by Bob Palais]

{{DEFAULTSORT:Tたう}}
[[Category:円周率]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[en:Pi#In_popular_culture]]