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[[代数幾何学]]において、'''ℓ 進層'''とは、[[P進数#定義|ℓ 進数体]] '''Q'''<sub>ℓ</sub> のような[[捩れ (代数学)|ねじれ]]のない係数に対して[[エタール・コホモロジー]]の理論を適切に拡張するために用いられる概念である。
[[アレクサンドル・グロタンディーク]]により SGA 5 において導入され{{Sfn|Illusie|1977}}、その後[[ピエール・ドリーニュ]]
<ref name="Deligne">{{Cite journal
  |last=Deligne
  |first=Pierre
  |date=1980
  |title=La conjecture de Weil. II
  |journal=Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.
  |volume=52
  |pages=137-252
}}</ref>
、{{仮リンク|ウーヴェ・ヤンセン|en|Uwe Jannsen}}{{Sfn|Jannsen|1988}}
、[[トルステン・エケダール]]{{Sfn|Ekedahl|1990}} などにより理論が整備された<ref>{{Cite web|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/0966|title=Section 61.1 (0966): Introduction|publisher=The Stacks Project|accessdate=2024-08-20}}.</ref>。

{{仮リンク|バルガフ・バット|en|Bhargav Bhatt (mathematician)}}と[[ペーター・ショルツェ]]は[[プロエタール位相]]を用いて ℓ 進層の理論に新たなアプローチを与えた{{Sfn|Bhatt|Scholze|2015}}。

== 動機 ==

[[エタール・コホモロジー]]は、[[代数多様体]]に対する「位相的な」[[コホモロジー|コホモロジー論]]、すなわち任意の[[標数]]で機能するような[[ヴェイユ・コホモロジー|ヴェイユ・コホモロジー論]]を構築する目的で発展した。
そのような理論に不可欠な特徴は、標数 0 の体を係数にもつことである。
しかし、ねじれのないエタール定数層のコホモロジーは興味深い情報を含まない。
例えば、''X'' が体 ''k'' 上の滑らかな[[代数多様体]]のとき、任意の正の整数 ''i'' に対して ''H<sup>i</sup>''(''X''<sub>ét</sub>, '''Q''') = 0 である<ref>{{Cite web| url=https://mathoverflow.net/questions/261886/etale-cohomology-with-coefficients-in-mathbbq| title=Etale cohomology with coefficients in <math>\mathbb{Q}</math>| publisher=mathoverflow| accessdate=2024-08-20}}</ref>。
一方、定数層 '''Z'''/''m'' は、体 ''k'' において ''m'' が可逆である限り、「正しい」コホモロジーを与える。
そのため、体 ''k'' で可逆であるような素数 ℓ に対し、''X'' の ℓ 進コホモロジーを
:<math>H^i(X_{\text{ét}}, \mathbb{Z}_\ell) := \varprojlim_n H^i(X_{\text{ét}}, \mathbb{Z}/\ell^n)</math>,
:<math>H^i(X_{\text{ét}}, \mathbb{Q}_\ell) := (\varprojlim_n H^i(X_{\text{ét}}, \mathbb{Z}/\ell^n)) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell</math>
と定義する。

しかし、この定義は完全に満足のできるものではない。
位相空間に対する古典的な理論のように、'''Q'''<sub>ℓ</sub> ベクトル空間の{{仮リンク|局所系|en|Local system}}を係数にもつコホモロジーを考えたい。
また、そのような局所系のなす[[圏 (数学)|圏]]と[[エタール基本群]]の '''Q'''<sub>ℓ</sub> 上の連続表現のなす圏の間に[[圏同値]]が存在するべきである。

上の定義の別の問題点は、''k'' が[[分離拡大#代数拡大における分離拡大|分離閉体]]のときにしかうまく振る舞わないことである。
その場合には、[[射影極限|逆極限]]に現れるすべての群は[[有限生成アーベル群|有限生成]]で、逆極限をとる操作は[[完全関手|完全]]である。
しかし、例えば ''k'' が[[代数体]]の場合、コホモロジー群 ''H<sup>i</sup>''(''X<sub>ét</sub>'', '''Z'''/ℓ<sup>''n''</sup>) が有限とも、逆極限をとる操作が完全とも限らない。
これにより関手性に問題が生じる。
例えば、<math>H^i(X_{\text{et}}, \mathbb{Z}_\ell)</math> を <math>H^i((X_{k^\text{sep}})_{\text{ét}}, \mathbb{Z}_\ell)</math> の[[ガロワコホモロジー|ガロア・コホモロジー]]に関連付けるホッホシルト・セールスペクトル系列<ref group="注釈">通常のエタール・コホモロジーの場合のホッホシルト・セールスペクトル系列については、例えば {{Harvnb|Fu|2011|pp=500-501}} を参照。</ref>は一般には存在しない{{Sfn|Jannsen|1988|pp=207-208}}。

以上の考察から、[[エタール・コホモロジー#定義|エタール層]]の[[射影極限#厳密な定義|逆系]]のなす圏を考えるというアイデアに至る。
これによって、'''Q'''<sub>ℓ</sub> 局所系のなす圏とエタール基本群の有限次元 '''Q'''<sub>ℓ</sub> ベクトル空間上の連続表現の圏の間の所望の圏同値が生じる。
また、前の段落で述べた問題も、逆系の大域切断の逆極限をとる関手の[[導来関手]]を考える、いわゆる連続エタール・コホモロジーによって解決する。

== 定義 ==

''X'' を[[ネータースキーム]]とする。
''X'' 上の '''ℓ 進層'''、または '''Z<sub>ℓ</sub> 層'''とは、''X'' 上のエタール層のなす逆系 <math>\{\mathcal{F}_n \}_{n \geq 0}</math> で、各 ''n ≧ 0'' に対して射 <math>\mathcal{F}_{n+1} \to \mathcal{F}_n</math> が同型 <math>\mathcal{F}_{n+1}/\ell^{n+1}\mathcal{F}_{n+1} \cong \mathcal{F}_n</math> を誘導するものである{{Sfn|Milne|1980|pp=163-164}}。

ℓ 進層 <math>\{\mathcal{F}_n \}_{n \geq 0}</math> は、

* 各 <math>\mathcal{F}_n</math> が{{仮リンク|構成可能層|en|Constructible sheaf|label=構成可能}}なとき'''構成可能'''であるという{{Sfn|Milne|1980|p=164}}。
* 各 <math>\mathcal{F}_n</math> が構成可能な{{仮リンク|局所定数層|en|Locally constant sheaf}}のとき'''滑らか''' (lisse) であるという{{Sfn|Milne|1980|p=164}}。

ℓ 進層の定義に構成可能であることを含める文献もある（例えば SGA 4 1/2<ref>{{Cite book
 | first = Pierre
 | last = Deligne
 | title = Cohomologie Etale
 | author-link = Pierre Deligne
 | series=Lecture Notes in Mathematics 
 | volume=569
 | year = 1977
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | location = Berlin; New York
 | pages = iv+312
 | doi= 10.1007/BFb0091516
 | isbn=978-3-540-08066-4 
 | mr = 0463174
}}</ref>）。

''X'' 上の '''Q'''<sub>ℓ</sub> 層のなす圏を次のように定義する。

* 対象は ''X'' 上の '''Z'''<sub>ℓ</sub> 層とする。
* 2 つの '''Z'''<sub>ℓ</sub> 層 <math>\mathcal{F}, \mathcal{G}</math> に対して、射の集合 <math>\mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}_\ell}(\mathcal{F}, \mathcal{G})</math> を <math>\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}_\ell}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell</math> と定める。

このように定義された圏の対象を ''X'' 上の '''Q<sub>ℓ</sub> 層'''と呼び、'''Z'''<sub>ℓ</sub> 層 <math>\mathcal{F}</math> で表される '''Q'''<sub>ℓ</sub> 層を <math>\mathcal{F}\otimes\mathbb{Q}_\ell</math> と表記する<ref>{{Cite web|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/03UR |title=Definition 64.18.6 (03UR)|publisher=The Stacks Project|accessdate=2024-08-21}}</ref>。

== 滑らかな ℓ 進層とエタール基本群の連続表現の対応 ==

連結な[[ネータースキーム]] ''X'' とその[[代数幾何学用語一覧#幾何学的点|幾何学的点]] ''x'' に対して、SGA 1 では ''X'' の ''x'' における[[エタール基本群]] {{Math|π<sup>ét</sup><sub>1</sub>(''X'', ''x'')}} が、''X'' の有限ガロア被覆を分類する群として定義されている。
このとき、''X'' 上の滑らかな ℓ 進層のなす圏は有限生成 '''Z'''<sub>ℓ</sub> 加群上の {{Math|π<sup>ét</sup><sub>1</sub>(''X'', ''x'')}} の連続表現のなす圏と同値である{{Sfn|Fu|2011|loc=Proposition 10.1.23}}。
同様に、'''Q'''<sub>ℓ</sub> 層の場合は有限次元 '''Q'''<sub>ℓ</sub> ベクトル空間上の {{Math|π<sup>ét</sup><sub>1</sub>(''X'', ''x'')}} の連続表現と対応する{{Sfn|Fu|2011|loc=Proposition 10.1.23}}。
これは、[[代数的位相幾何学|代数的トポロジー]]における{{仮リンク|局所系|en|Local system}}と[[基本群]]の連続表現の間の対応の類似である（このため、滑らかな ℓ 進層は局所系と呼ばれることがある）。

== ℓ 進コホモロジー ==

古典的には、スキーム ''X'' 上の '''Z'''<sub>ℓ</sub> 層 <math>\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}</math> に対して、'''''X'' の <math>\mathcal{F}</math> 係数 ℓ 進コホモロジー'''は
:<math>H^i(X, \mathcal{F}) := \varprojlim_n H^i(X, \mathcal{F}_n)</math>
と定義される<ref name="classical-def">{{Cite web|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/03UT|title=Definition 64.18.8 (03UT)|publisher=The Stacks Project|accessdate=2024-08-21}}</ref>。
'''Z'''<sub>ℓ</sub> 層 <math>\mathcal{F}' = \{\mathcal{F}'_n\}_{n \geq 0}</math> により <math>\mathcal{F} = \mathcal{F}' \otimes \mathbb{Q}_\ell</math> と表される '''Q'''<sub>ℓ</sub> 層に対しては
:<math>H^i(X, \mathcal{F}) := H^i(X, \mathcal{F}') \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell</math>
と定義する<ref name="classical-def"></ref>。

しかし、これは[[導来関手]]として定義されていないため、関手性に問題が生じる{{Sfn|Jannsen|1988|p=207}}。
この問題を解決するのが{{仮リンク|ウーヴェ・ヤンセン|en|Uwe Jannsen}}の連続エタール・コホモロジーである。
''X'' 上のエタール層の逆系のなす圏は[[アーベル圏]]であり[[導来関手#構成と最初の性質|十分単射的対象をもつ]]ため{{Sfn|Jannsen|1988|p=209}}、関手 <math>\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0} \mapsto \varprojlim_n \Gamma(X, \mathcal{F}_n)</math> の ''i'' 次右導来関手を考えられる。
これを逆系 <math>\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}</math> に適用して得られるアーベル群を <math>H_{\text{cont}}^i(X, \mathcal{F})</math> と表し、'''''X'' の <math>\mathcal{F}</math> 係数連続エタール・コホモロジー'''という<ref group="注釈">{{Harvnb|Jannsen|1988|p=216}} では ℓ 進層における導来関手の値のみに対し <math>H^i_\text{cont}</math> という記号が用いられ、また「連続エタール・コホモロジー」の名前もその状況においてのみ与えられているが、ここでは {{Harvnb|Bhatt|Scholze|2015|loc=Definition 5.6.1}} の記法・用語法に従った。</ref>。
<!-- 連続エタール・コホモロジーに対しては通常のねじれ係数のエタール・コホモロジーと同様の性質が成り立つ。（要出典） -->

エタール層の逆系 <math>\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}</math> で各射 <math>\mathcal{F}_{n+1} \to \mathcal{F}_n</math> が全射であるものに対して、''X'' の <math>\mathcal{F}</math> 係数連続エタール・コホモロジーは{{仮リンク|バルガフ・バット|en|Bhargav Bhatt (mathematician)}}と[[ペーター・ショルツェ]]による[[プロエタール・コホモロジー]]で表すことができる{{Sfn|Bhatt|Scholze|2015|loc=§ 5.6}}。

== 構成可能 ℓ 進層のなす「導来圏」 ==

構成可能 <math>\overline{\mathbb{Q}_\ell}</math> 層のなす導来圏は、本質的には ℓ 進コホモロジーの場合と類似の式
:<math>D_c^b(X, \overline{\mathbb{Q}_\ell}) := (\varprojlim_n D_c^b(X, \mathbb{Z}/\ell^n)) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \overline{\mathbb{Q}_\ell}</math> 
で表されるようなアイデアにより定義される。
<!-- しかし、スキーム ''X'' に有限性を仮定しない限り、このような単純な 2 極限では所望の三角圏は得られない。 -->
[[ピエール・ドリーニュ|ドリーニュ]]<ref name="Deligne"></ref>が最初にこのアイデアに沿った定義を与えた{{Sfn|Bhatt|Scholze|2015|p=100}}。
その後[[トルステン・エケダール|エケダール]]{{Sfn|Ekedahl|1990}}によってより一般的な構成が与えられた。

{{仮リンク|バルガフ・バット|en|Bhargav Bhatt (mathematician)|label=バット}}と[[ペーター・ショルツェ|ショルツェ]]は、'''Q'''<sub>ℓ</sub> の任意の（有限次とは限らない）[[代数拡大]] ''E'' に対して、構成可能 ''E'' 層の導来圏 <math>D_c^b(X, E)</math> を[[プロエタール位相]]を備えた ''X'' のプロエタール景 ''X''<sub>proét</sub> 上の ''E'' ベクトル空間の層のなすアーベル圏の[[導来圏]] <math>D(X_{\text{proét}}, E)</math> の特別な対象のなす[[部分圏#定義|充満部分圏]] <math>D_{\text{cons}}(X_{\text{proét}}, E)</math> として実現した{{Sfn|Bhatt|Scholze|2015|loc=Proposition 6.8.14}}。

== 関連項目 ==

* [[ヴェイユ予想]]
* {{仮リンク|フーリエ・ドリーニュ変換|en|Fourier–Deligne transform}}
* [[プロエタール位相]]

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注釈"}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Cite journal
  | last1 = Bhatt
  | first1 = Bhargav
  | authorlink1 = バルガフ・バット
  | last2 = Scholze
  | first2 = Peter
  | authorlink2 = ペーター・ショルツェ
  | title = The pro-étale topology for schemes
  | url = https://smf.emath.fr/publications/la-topologie-pro-etale-sur-les-schemas
  | journal = Astérisque
  | volume = 369
  | year = 2015
  | pages = 99-201
  | doi = 10.24033/ast.960
}} {{Arxiv|1309.1198}} {{フリーアクセス}}
* {{Cite journal
  |last=Ekedahl
  |first=Torsten
  |date=1990
  |title=On the adic formalism
  |journal=The Grothendieck Festschrift, Vol. II
  |pages=197-218
  |publisher=Birkhäuser Boston
  |location=Boston, MA
}}
* {{Citation 
  | last1=Fu 
  | first1=Lei 
  | title=Etale Cohomology Theory 
  | series=Nankai Tracts in Mathematics 
  | year=2011 
  | volume=13 
  | publisher=World Scientific Publishing 
  | doi=10.1142/7773 
  | isbn=9789814307727
}}
* Exposé V, VI of {{Cite book
 | editor-last = Illusie
 | editor-first = Luc
 | editor-link = Luc Illusie
 | series=Lecture notes in mathematics |volume = 589
 | year = 1977
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | location = Berlin; New York
 | pages = xii+484
 | isbn =  3-540-08248-4
 | no-pp = true
 |doi = 10.1007/BFb0096802
 | mr = 0491704
 | title = Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1965–66 SGA 5
}}
* {{Cite journal 
  |last=Jannsen 
  |first=Uwe 
  |date=1988 
  |title=Continuous Étale Cohomology. 
  |url=https://eudml.org/doc/164361 
  |journal=Mathematische Annalen 
  |volume=280 
  |issue=2 
  |pages=207–246 
  |issn=0025-5831
}}
* {{Citation
  |last=James S.
  |first=Milne
  |title=Étale cohomology
  |publisher=Princeton University Press
  |location=Princeton, N.J
  |year=1980
  |isbn=0-691-08238-3
  |url-access=registration
  |url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln
}}

== 外部リンク ==

* [https://mathoverflow.net/q/32478 Mathoverflow: A nice explanation of what is a smooth (ℓ-adic) sheaf?]
* [http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/Weil2seminar/ Number theory learning seminar 2016–2017]
* [https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kelly/Course2021EtCoh/EtaleCohomology2021SS.html (Pro)Étale Cohomology]

[[Category:代数幾何学]]
[[Category:層の理論]]
[[Category:数学に関する記事]]