ℓ進層

代数幾何学において、ℓ 進層とは、ℓ 進数体 Q_ℓ のようなねじれのない係数に対してエタール・コホモロジーの理論を適切に拡張するために用いられる概念である。 アレクサンドル・グロタンディークにより SGA 5 において導入されテンプレート:Sfn、その後ピエール・ドリーニュ 、テンプレート:仮リンクテンプレート:Sfn 、トルステン・エケダールテンプレート:Sfn などにより理論が整備された。

テンプレート:仮リンクとペーター・ショルツェはプロエタール位相を用いて ℓ 進層の理論に新たなアプローチを与えたテンプレート:Sfn。

動機

エタール・コホモロジーは、代数多様体に対する「位相的な」コホモロジー論、すなわち任意の標数で機能するようなヴェイユ・コホモロジー論を構築する目的で発展した。 そのような理論に不可欠な特徴は、標数 0 の体を係数にもつことである。 しかし、ねじれのないエタール定数層のコホモロジーは興味深い情報を含まない。 例えば、X が体 k 上の滑らかな代数多様体のとき、任意の正の整数 i に対して Hⁱ(X_ét, Q) = 0 である。 一方、定数層 Z/m は、体 k において m が可逆である限り、「正しい」コホモロジーを与える。 そのため、体 k で可逆であるような素数 ℓ に対し、X の ℓ 進コホモロジーを

$H^i(X_{\text{ét}},{\mathbb{Z}}_{\ell }):=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{H}^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Z}/{\ell }^n)$,

$H^i(X_{\text{ét}},{\mathbb{Q}}_{\ell }):=(\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{H}^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Z}/{\ell }^n)){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}{\mathbb{Q}}_{\ell }$

と定義する。

しかし、この定義は完全に満足のできるものではない。 位相空間に対する古典的な理論のように、Q_ℓ ベクトル空間のテンプレート:仮リンクを係数にもつコホモロジーを考えたい。 また、そのような局所系のなす圏とエタール基本群の Q_ℓ 上の連続表現のなす圏の間に圏同値が存在するべきである。

上の定義の別の問題点は、k が分離閉体のときにしかうまく振る舞わないことである。 その場合には、逆極限に現れるすべての群は有限生成で、逆極限をとる操作は完全である。 しかし、例えば k が代数体の場合、コホモロジー群 Hⁱ(X_ét, Z/ℓⁿ) が有限とも、逆極限をとる操作が完全とも限らない。 これにより関手性に問題が生じる。 例えば、$H^i(X_{\text{et}},{\mathbb{Z}}_{\ell })$ を $H^i((X_{k^{\text{sep}}}{)}_{\text{ét}},{\mathbb{Z}}_{\ell })$ のガロア・コホモロジーに関連付けるホッホシルト・セールスペクトル系列は一般には存在しないテンプレート:Sfn。

以上の考察から、エタール層の逆系のなす圏を考えるというアイデアに至る。 これによって、Q_ℓ 局所系のなす圏とエタール基本群の有限次元 Q_ℓ ベクトル空間上の連続表現の圏の間の所望の圏同値が生じる。 また、前の段落で述べた問題も、逆系の大域切断の逆極限をとる関手の導来関手を考える、いわゆる連続エタール・コホモロジーによって解決する。

定義

X をネータースキームとする。 X 上の ℓ 進層、または Z_ℓ 層とは、X 上のエタール層のなす逆系 $\{{ℱ}_n{\}}_{n\ge 0}$ で、各 n ≧ 0 に対して射 ${ℱ}_{n+1}\to {ℱ}_n$ が同型 ${ℱ}_{n+1}/{\ell }^{n+1}{ℱ}_{n+1}\cong {ℱ}_n$ を誘導するものであるテンプレート:Sfn。

ℓ 進層 $\{{ℱ}_n{\}}_{n\ge 0}$ は、

• 各 ${ℱ}_n$ がテンプレート:仮リンクなとき構成可能であるというテンプレート:Sfn。
• 各 ${ℱ}_n$ が構成可能なテンプレート:仮リンクのとき滑らか (lisse) であるというテンプレート:Sfn。

ℓ 進層の定義に構成可能であることを含める文献もある（例えば SGA 4 1/2）。

X 上の Q_ℓ 層のなす圏を次のように定義する。

• 対象は X 上の Z_ℓ 層とする。
• 2 つの Z_ℓ 層 $ℱ,𝒢$ に対して、射の集合 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{\mathbb{Q}}_{\ell }}(ℱ,𝒢)$ を ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}(ℱ,𝒢){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}{\mathbb{Q}}_{\ell }$ と定める。

このように定義された圏の対象を X 上の Q_ℓ 層と呼び、Z_ℓ 層 $ℱ$ で表される Q_ℓ 層を $ℱ\otimes {\mathbb{Q}}_{\ell }$ と表記する。

滑らかな ℓ 進層とエタール基本群の連続表現の対応

連結なネータースキーム X とその幾何学的点 x に対して、SGA 1 では X の x におけるエタール基本群 テンプレート:Math が、X の有限ガロア被覆を分類する群として定義されている。 このとき、X 上の滑らかな ℓ 進層のなす圏は有限生成 Z_ℓ 加群上の テンプレート:Math の連続表現のなす圏と同値であるテンプレート:Sfn。 同様に、Q_ℓ 層の場合は有限次元 Q_ℓ ベクトル空間上の テンプレート:Math の連続表現と対応するテンプレート:Sfn。 これは、代数的トポロジーにおけるテンプレート:仮リンクと基本群の連続表現の間の対応の類似である（このため、滑らかな ℓ 進層は局所系と呼ばれることがある）。

ℓ 進コホモロジー

古典的には、スキーム X 上の Z_ℓ 層 $ℱ=\{{ℱ}_n{\}}_{n\ge 0}$ に対して、X の $ℱ$ 係数 ℓ 進コホモロジーは

$H^i(X,ℱ):=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{H}^i(X,{ℱ}_n)$

と定義される。 Z_ℓ 層 ${ℱ}^{\prime }=\{ℱ{\text{'}}_n{\}}_{n\ge 0}$ により $ℱ={ℱ}^{\prime }\otimes {\mathbb{Q}}_{\ell }$ と表される Q_ℓ 層に対しては

$H^i(X,ℱ):=H^i(X,{ℱ}^{\prime }){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}{\mathbb{Q}}_{\ell }$

と定義する。

しかし、これは導来関手として定義されていないため、関手性に問題が生じるテンプレート:Sfn。 この問題を解決するのがテンプレート:仮リンクの連続エタール・コホモロジーである。 X 上のエタール層の逆系のなす圏はアーベル圏であり十分単射的対象をもつためテンプレート:Sfn、関手 $\{{ℱ}_n{\}}_{n\ge 0}\mapsto \underset{n}{\underleftarrow{\lim }}\mathrm{\Gamma }(X,{ℱ}_n)$ の i 次右導来関手を考えられる。 これを逆系 $ℱ=\{{ℱ}_n{\}}_{n\ge 0}$ に適用して得られるアーベル群を $H_{\text{cont}}^i(X,ℱ)$ と表し、X の $ℱ$ 係数連続エタール・コホモロジーという。

エタール層の逆系 $ℱ=\{{ℱ}_n{\}}_{n\ge 0}$ で各射 ${ℱ}_{n+1}\to {ℱ}_n$ が全射であるものに対して、X の $ℱ$ 係数連続エタール・コホモロジーはテンプレート:仮リンクとペーター・ショルツェによるプロエタール・コホモロジーで表すことができるテンプレート:Sfn。

構成可能 ℓ 進層のなす「導来圏」

構成可能 $\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$ 層のなす導来圏は、本質的には ℓ 進コホモロジーの場合と類似の式

$D_c^b(X,\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}):=(\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{D}_c^b(X,\mathbb{Z}/{\ell }^n)){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}\overline{{\mathbb{Q}}_{\ell }}$

で表されるようなアイデアにより定義される。 ドリーニュが最初にこのアイデアに沿った定義を与えたテンプレート:Sfn。 その後エケダールテンプレート:Sfnによってより一般的な構成が与えられた。

テンプレート:仮リンクとショルツェは、Q_ℓ の任意の（有限次とは限らない）代数拡大 E に対して、構成可能 E 層の導来圏 $D_c^b(X,E)$ をプロエタール位相を備えた X のプロエタール景 X_proét 上の E ベクトル空間の層のなすアーベル圏の導来圏 $D(X_{\text{proét}},E)$ の特別な対象のなす充満部分圏 $D_{\text{cons}}(X_{\text{proét}},E)$ として実現したテンプレート:Sfn。

関連項目

• ヴェイユ予想
• テンプレート:仮リンク
• プロエタール位相

参考文献

• テンプレート:Cite journal テンプレート:Arxiv テンプレート:フリーアクセス
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Citation
• Exposé V, VI of テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Citation

外部リンク

• Mathoverflow: A nice explanation of what is a smooth (ℓ-adic) sheaf?
• Number theory learning seminar 2016–2017
• (Pro)Étale Cohomology