ヴェイユ予想

テンプレート:Otheruses ヴェイユ予想（ヴェイユよそう、テンプレート:Lang-en-short）とは、数学者のアンドレ・ヴェイユが1949年に発表した^[1]、非特異代数多様体上の合同ゼータ関数におけるリーマン予想の類似である（下の(3)がリーマン予想の類似）。アレクサンドル・グロタンディークを経てピエール・ルネ・ドリーニュにより1974年に解決された。

(1) 有理数多項式: $P_{0} (t) P_{1} (t), . . ., P_{2 n} (t)$ が存在して

ζ (X, t) = \frac{P_{1} (t) P_{3} (t) . . . P_{2 n - 1} (t)}{P_{0} (t) P_{2} (t) . . . P_{2 n} (t)}

そして $P_{i} (t)$ の次数はi次元ベッチ数 $b_{i}$ に等しい。

(2)

ζ (X, \frac{1}{q^{n} t}) = \pm (q t^{2})^{\frac{χ}{2} (X)} ζ (X, t)

ここで $χ = b_{0} - b_{1} + b_{2} - b_{3} + . . . + b_{2 n}$

(3)

P_{i} (t) = \prod_{j = 1}^{b_{i}} (1 - α_{i j} t)

と因数分解したとき

| α_{i j} | = q^{\frac{i}{2}}

が成立する。

(1)はテンプレート:仮リンクによって^[2]、(2)はグロタンディークによって^[3]、(3)はドリーニュによって^[4]証明された。

出典