合同ゼータ関数

テンプレート:要改訳 数学において、テンプレート:Mvar 個の元をもつ有限体 テンプレート:Math 上で定義された非特異射影代数多様体 テンプレート:Mvar の合同ゼータ関数 (congruent zeta function) テンプレート:Math（または局所ゼータ関数 (local zeta function)）とは、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 次拡大体 テンプレート:Math 上の テンプレート:Mvar の（有理）点の数（定義方程式の解の個数）としたとき、

$Z(V,s)=\exp (\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_m}{m}(q^{-s}{)}^m)$

で定義される。変数変換 テンプレート:Math を行うと、これは テンプレート:Mvar の形式的冪級数として

$𝑍(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_m\frac{u^m}{m}\right)$

で定義される。

あるいは同じことだが、

$(1)𝑍(V,0)=1$

$(2)\frac{d}{du}\log 𝑍(V,u)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_m{u}^{m-1}$

が定義に採用されることもある。 言い換えると、合同ゼータ関数 テンプレート:Math とは、有限体 テンプレート:Math 上で テンプレート:Mvar を定義する方程式の テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 次拡大体 テンプレート:Math における解の数の生成母関数が、テンプレート:Math の対数微分となるような関数とも定義できる。

定式化

有限体 テンプレート:Math が与えられたとき、自然数 テンプレート:Math に対し、拡大次数が テンプレート:Math である体 テンプレート:Math が同型を除き一意に存在する。テンプレート:Math 上の多項式からなる方程式系、あるいは、代数多様体 テンプレート:Mvar が与えられると、テンプレート:Math における解の数 テンプレート:Mvar を数えることができ、その生成母関数

$G(t)=N_{1}t+N_2{t}^2/2+N_3{t}^3/3+\cdots$

を作ることができる。

局所ゼータ関数 テンプレート:Math の定義は、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar に等しくなるようにする。つまり、

$Z(t)=\exp (G(t))$

とする。

テンプレート:Math だから テンプレート:Math である。また、テンプレート:Math はア・プリオリに形式的冪級数である。

テンプレート:Math の対数微分

$Z^{\prime }(t)/Z(t)$

は、生成母関数 テンプレート:Math の微分

$G^{\prime }(t)=N_1+N_2{t}^1+N_3{t}^2+\cdots$

に等しい。

例

まず、一点からなる多様体を考え、多様体の定義方程式を テンプレート:Math とする。この定義方程式は、拡大次数 テンプレート:Mvar がどのような値であっても、方程式の解の数は、テンプレート:Math となる。このことから全ての テンプレート:Mvar に対し、形式的べき級数の各係数が テンプレート:Math である場合と、テンプレート:Mvar を一点からなる多様体として取ることとが対応する。従って、

$G(t)=-\log (1-t)$

は、テンプレート:Math に対する対数の展開であり、

$Z(t)=\frac{1}{(1-t)}$

となる。

さらに興味深い例は、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の射影直線(projective line)としたときである。テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 個の元を持つとすると、この多様体は テンプレート:Math 個の点を持ち、この テンプレート:Math 個は無限遠点と考えるべきである。このことから、

$N_k=q^k+1$

となり、テンプレート:Mathが充分小さいとき、

$G(t)=-\log (1-t)-\log (1-qt)$

となることが分かる。

この場合には、

$Z(t)=\frac{1}{(1-t)(1-qt)}$

となる。

これらの関数を最初に研究したのは、1923年のエミール・アルティン(Emil Artin)であった。彼は、超楕円曲線の場合の結果を得て、さらに曲線一般への適用として、理論の主要な点を予想とした。この理論は、F. K. シュミット(F. K. Schmidt)とヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)により開発された。 局所ゼータ関数の非自明で最初な例は、カール・フリードリヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)のDisquisitiones Arithmeticaeの論文 358 により、暗に与えられていた。虚数乗法をもつ有限体上の楕円曲線の特別な例は、円分の方法(cyclotomy)により、それらの解の個数を数えることができる。

定義やいくつかの例については、も参照。

動機

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の定義の間の関係は、多くの方法で説明することができる（例えば、以下の テンプレート:Mvar の無限積の公式を参照）。実際は、（一般の代数多様体に対しても、）この方法は、テンプレート:Mvar が有限体上の楕円曲線 テンプレート:Mvar の場合のように、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の有理関数となっている。

関数 テンプレート:Mvar は多重のとなっていて、大域的ゼータ関数(global zeta function)を得る。これらは、異なる有限体を意味していて、テンプレート:Mvar が全ての素数を渡るときの体 テンプレート:Math の族の全体を意味している。これらの関係の中で、変数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math が代入される。この テンプレート:Mvar はディリクレ級数に使われる伝統的な複素数変数である。詳細はハッセ・ヴェイユのゼータ関数を参照。

このように理解すると、例で使われた 2つの場合の テンプレート:Mvar の積は、$\zeta (s)$ と $\zeta (s)\zeta (s-1)$ となる。

有限体上の曲線のリーマン予想

テンプレート:Math 上の非特異な射影曲線 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar を曲線 テンプレート:Mvar の種数とし、テンプレート:Math を曲線を定義する次数 テンプレート:Math の多項式とすると、

$Z(t)=\frac{P(t)}{(1-t)(1-qt)}$

となる。

$P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-{\omega }_{i}u)$

と書くと、有限体上の曲線のリーマン予想は、

$|{\omega }_i|=q^{1/2}$

となるということを言う。

例えば、楕円曲線の場合は、2つの根を持っていて、根の絶対値が テンプレート:Math であることを容易にしめすことができる。楕円曲線のハッセの定理は、2つの根が同じ絶対値を持ち、このことは（楕円曲線の）点の数の直接的な結果であることを言っている。

アンドレ・ヴェイユ(André Weil)は1940年頃、このことを一般的な場合に証明した (Comptes Rendus note, April 1940) が、代数幾何学を建設するために多くの時間を注ぎ込んだ。このことから、彼はヴェイユ予想へ至り、グロタンディエク(Grothendieck)はこの予想の解決のため、スキーム論を開発し、最終的に予想は後に、ドリーニュ(Deligne)により証明されることとなった。一般論の基本公式については、エタールコホモロジーを参照。

ゼータ関数の一般的公式

$Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det (1-t{\text{Frob}}_q|H_c^i(\bar{X},{\mathbb{Q}}_{\ell }){)}^{(-1{)}^{i+1}}.$

この式は、フロベニウス写像に対するレフシェッツ不動点定理の結果である。

ここに $X$ は、テンプレート:Mvar 個の元を持つ有限体 テンプレート:Math 上の有限タイプの分離的スキームであり、テンプレート:Math は $\bar{X}$ のコンパクトな台を持つ幾何学的フロベニウス作用である。$\bar{X}$ は テンプレート:Math の代数的閉体への $X$ のリフトである。このことは、ゼータ関数が テンプレート:Mvar の有理関数であることを示している。

テンプレート:Math の無限積公式は、

$Z(X,t)=\prod (1-t^{\mathrm{deg}(x)}{)}^{-1}$

である。ここに、積は テンプレート:Mvar の閉点 テンプレート:Mvar 全てを渡り、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の次数である。局所ゼータ関数 テンプレート:Math は テンプレート:Math の変数変換を通して、複素数変数 テンプレート:Mvar の関数と見ることができる。

上で議論した テンプレート:Mvar が多様体 テンプレート:Mvar の場合は、閉点は $\bar{V}$ 上の点 テンプレート:Mvar の同値類 テンプレート:Math のこととなり、2つの点の同値とは テンプレート:Math 上で共役なこととなる。テンプレート:Mvar の次数は テンプレート:Mvar の座標により生成される テンプレート:Mvar の拡大次数である。無限積 テンプレート:Math の対数微分は、容易に、上で議論した生成母関数と見なすことができる。すなわち、

$N_1+N_2{t}^1+N_3{t}^2+\cdots$

である。

関連項目

• ゼータ函数
• ヴェイユ予想
• 楕円曲線

参考文献

• テンプレート:Cite book
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