フロベニウス自己準同型

テンプレート:要改訳 テンプレート:出典の明記 可換環論や体論では、フロベニウス自己準同型 (フロベニウス写像、テンプレート:Lang-en-short) （フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスの名前にちなむ）は、有限体を含む重要なクラスである素数の標数 テンプレート:Mvar をもつ可換環の特別な自己準同型のことを言う。この自己準同型写像は、各元を テンプレート:Mvar 乗する。ある文脈においては、自己同型となるが、一般にこれは正しくない。

定義

テンプレート:Mvar を素数、 テンプレート:Mvar を標数 テンプレート:Mvar の可換環（たとえば、有限体や正標数の整域）とする。フロベニウス自己準同型写像（フロベニウス写像） テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar に対し

$F(r)=r^p$

により定義されるテンプレート:Sfn。明らかに、これは テンプレート:Mvar の乗法と整合的、つまり

$F(rs)=(rs{)}^p=r^p{s}^p=F(r)F(s)$

が成り立ち、さらに

$F(1)=1$

となる。一方で、 テンプレート:Mvar の加法に関しても興味深いことが言える。式 テンプレート:Math を二項展開する。テンプレート:Mvar は素数であるので、テンプレート:Math を割り切るが、テンプレート:Math に対しいかなる テンプレート:Math も割り切らない。よって テンプレート:Math であれば、テンプレート:Mvar は二項係数

$\frac{p!}{k!(p-k)!}$

の分子を割り切るが、分母を割り切らない。

したがって、 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を除くすべての項の係数は標数 テンプレート:Mvar で割り切れるので、それらは消える。したがって、

$F(r+s)=(r+s{)}^p=r^p+s^p=F(r)+F(s)$

となるテンプレート:Efn。以上からフロベニウス写像 テンプレート:Math は環準同型であるテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を標数 テンプレート:Mvar の環、テンプレート:Math を環準同型とすると、

$\varphi (x^p)=\varphi (x{)}^p$

が成り立つ。ここで テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar をそれぞれ テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar 上のフロベニウス写像とすれば、この式は

$\varphi \circ F_R=F_S\circ \varphi$

と書き換えられる。つまりフロベニウス写像たちは標数 テンプレート:Mvar の可換環がなす圏の恒等関手上の自然変換である。

テンプレート:Mvar が被約環（たとえば体などの整域）のとき、フロベニウス写像は単射となる。なぜならば、テンプレート:Math は テンプレート:Math を意味するので テンプレート:Mvar は冪零であり、自明となるから。さらに逆も正しい。

またフロベニウス写像は、テンプレート:Mvar が体であるときでさえ、全射であるとは限らない。たとえば、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 元体 テンプレート:Math に超越元 テンプレート:Mvar を添加した体とする。同じことだが、テンプレート:Math を テンプレート:Math 係数の一変数有理函数の体とする。このとき、テンプレート:Mvar の像は テンプレート:Mvar を含まない。もし テンプレート:Mvar を像に含むとすると、有理函数 テンプレート:Math で、その テンプレート:Mvar 乗 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar となるものが存在する。しかし、この テンプレート:Mvar 乗の次数は テンプレート:Math ゆえ、テンプレート:Mvar の倍数である。特に、テンプレート:Mvar の次数 1 とは一致しない。これは矛盾。以上から、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の像ではない。

体 テンプレート:Mvar が完全であるとは、標数が 0 であるか、正の標数かつフロベニウス写像が全射であることを言うテンプレート:Sfn。たとえば、すべての有限体は完全であるテンプレート:Sfn。

フロベニウス写像の不動点

有限体 テンプレート:Math を考える。フェルマーの小定理により、テンプレート:Math のすべての元 テンプレート:Mvar は、テンプレート:Math を満たすテンプレート:Sfn。同じことだが、多項式 テンプレート:Math の根である。したがって、テンプレート:Math の元は、この多項式の テンプレート:Mvar 個の根を決定し、この多項式は次数 テンプレート:Mvar なので、どんなに体を拡大しても テンプレート:Mvar 個よりも多くの根を持つことはない。特に、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の代数拡大（代数的閉包、または他の有限体のような）であれば、 テンプレート:Mvar のフロベニウス写像に関する不変体は テンプレート:Math である。

テンプレート:Mvar を標数 テンプレート:Math の環とする。テンプレート:Mvar が整域であれば、同じ理由でフロベニウス写像の不動点は素体の元である。しかしながら、テンプレート:Mvar が整域でないと、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 個よりも多い根を持つかもしれない。たとえば、テンプレート:Math のとき、このようなことが起きる。

同様の性質を有限体 ${𝐅}_{p^e}$ も持つ。${𝐅}_{p^e}$ のすべての元は、多項式 $X^{p^e}-X$ の根であるので、テンプレート:Mvar が ${𝐅}_{p^e}$ の代数拡大であれば、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar のフロベニウス写像としたとき、 テンプレート:Mvar の テンプレート:Math に関する不変体は ${𝐅}_{p^e}$ である。テンプレート:Mvar が ${𝐅}_{p^e}$-代数であるような整域であれば、フロベニウス写像の テンプレート:Mvar 乗の固定点は ${𝐅}_{p^e}$ の像の元である。

フロベニウス写像の繰り返しは、テンプレート:Mvar の元の列

$x,x^p,x^{p^2},x^{p^3},\dots$

をもたらす。この繰り返しの列は、テンプレート:仮リンク(Frobenius closure)やイデアルの密着閉包(tight closure)の定義に使われる。

ガロア群の生成元として

有限体の拡大のガロア群は、有限次元拡大の場合、フロベニウス自己同型の繰り返しにより生成されるテンプレート:要検証。まず、基礎体が素体の場合を考える。テンプレート:Math として テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 元体とする。テンプレート:Math のフロベニウス写像 テンプレート:Mvar は素体 テンプレート:Math を固定するので、ガロア群 テンプレート:Math の元である。実際、このガロア群は位数 テンプレート:Mvar の巡回群であり、テンプレート:Mvar は生成元であるテンプレート:Sfn。なぜならば、テンプレート:Math は、元 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math へ写すことにより作用し、これは テンプレート:Math 上の恒等写像である。テンプレート:Math のすべての自己同型は テンプレート:Mvar のべきで、生成元は テンプレート:Mvar に互いに素な テンプレート:Mvar に対して、べき テンプレート:Math である。

ここで有限体 テンプレート:Math を テンプレート:Math の体の拡大と考える。テンプレート:Math のフロベニウス自己同型 テンプレート:Math は、基礎体 テンプレート:Math を固定しないが、その テンプレート:Math-番目の繰り返し テンプレート:Math を固定する。ガロア群 テンプレート:Math は位数 テンプレート:Math の巡回群で、テンプレート:Math により生成される。この群は テンプレート:Math の部分群で、テンプレート:Math により生成される。テンプレート:Math の生成元は、べき テンプレート:Math である。ここの テンプレート:Math は、テンプレート:Math と互いに素である。

フロベニウス自己同型は、絶対ガロア群

$\mathrm{Gal}(\overline{{𝐅}_q}/{𝐅}_q)$

の生成元ではない。何故ならば、このガロア群は、

$\widehat{𝐙}=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}𝐙/n𝐙$

であり、巡回群ではない。しかしながら、フロベニウス自己同型は テンプレート:Math の全ての有限拡大のガロア群の生成元であるので、絶対ガロア群の全ての有限商の生成元である。結局、絶対ガロア群の上の普通のクルル位相でのトポロジカルな生成元である。

スキームのフロベニウス

スキームのフロベニウス写像の定義方法にはいくつかの異なる方法がある。絶対フロベニウス写像は最も基本的である。しかし、絶対フロベニウス写像は、ベーススキームに注意を払わないので、相対的な状況下ではうまい振る舞いをしない。相対的状況下でフロベニウス写像が適用する方法は、いくつかの異なる方法があり、それぞれ有用である場合が異なっている。

絶対フロベニウス写像

テンプレート:Math を標数 テンプレート:Math のスキームとする。 テンプレート:Math のアフィン開集合 テンプレート:Math を選ぶ。環 テンプレート:Math は テンプレート:Math-代数であるので、フロベニウス自己準同型を持つ。テンプレート:Math を テンプレート:Math のアフィン開集合とすると、フロベニウスの自然性により、テンプレート:Math上へ制限したときの テンプレート:Math 上のフロベニウス写像は テンプレート:Math 上のフロベニウス写像である。結局、フロベニウス写像を貼り合わせることは、テンプレート:Math の自己準同型を与える。この準同型のことを絶対フロベニウス写像と言う。定義により絶対フロベニウス写像は、テンプレート:Math から自分自身への準同型である。絶対フロベニウス写像は、 テンプレート:Math-スキーム上の恒等函手からそれ自身への自然な変換である。

テンプレート:Math が テンプレート:Math-スキームで、テンプレート:Math のフロベニウス写像が恒等写像であれば、絶対フロベニウス写像は テンプレート:Math-スキームの射(morphism)である。しかし、一般には、そうとは言えない。例えば、環 $A={𝐅}_{p^2}$ を考える。テンプレート:Math と テンプレート:Math とを、双方とも、恒等射となる構造射 テンプレート:Math をもつ テンプレート:Math とする。テンプレート:Math 上のフロベニウス写像は、テンプレート:Math を テンプレート:Math へ写す。 この写像は ${𝐅}_{p^2}$-代数の写像ではない。もしそうだとすると、${𝐅}_{p^2}$ での元 テンプレート:Math による積がフロベニウス自己準同型を適用することと可換となってしまう。しかし、

$b\cdot a=ba\ne F(b)\cdot a=b^{p}a$

であるから、これは正しくない。前者は テンプレート:Math の始まる ${𝐅}_{p^2}$-代数構造の テンプレート:Math 作用であり、後者はフロベニウスにより引き起こされた ${𝐅}_{p^2}$ 上の作用である。結局、テンプレート:Math 上のフロベニウス写像は ${𝐅}_{p^2}$-スキーム上の射ではない。

絶対フロベニウス写像は、次数 テンプレート:Math の純粋な非分離射である。この微分は 0 である。絶対フロベニウス写像は積を保存し、このことは任意の 2つのスキーム テンプレート:Math と テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math であることを意味する。

フロベニウスによるスカラーの制限と拡大

テンプレート:Math を テンプレート:Math-スキーム テンプレート:Math の構造射とする。基本スキーム テンプレート:Math はフロベニウス写像 F_S を持っている。F_S と結合 テンプレート:Math は、フロベニウスによるスカラーの制限と呼ばれる テンプレート:Math-スキーム X_F を結果する。スカラーの制限は、実際、テンプレート:Math-射 テンプレート:Math はテンプレート:Math-射 テンプレート:Math を惹き起すので函手である。

例えば、標数 テンプレート:Math の環 A と A 上の有限な代数

$R=A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1,\dots ,f_m)$

を考える。R 上の A の作用は、

$c\cdot \sum a_{\alpha }{X}^{\alpha }=\sum c{a}_{\alpha }{X}^{\alpha }$

により与えられる。ここに α は多重インデックスとする。テンプレート:Math とすると、テンプレート:Math はアフィンスキーム テンプレート:Math であるが、構造射 テンプレート:Math、つまり、R 上の A の作用は異なっている。

$c\cdot \sum a_{\alpha }{X}^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }{X}^{\alpha }=\sum c^p{a}_{\alpha }{X}^{\alpha }.$

何故ならば、フロベニウスによるスカラーの制限は単純な合成で、テンプレート:Math の多くの性質はフロベニウス写像に対する適当な前提の下に X_F により引き継がれるからである。例えば、テンプレート:Math と S_F が両方とも有限型であれば、X_F も有限型である。

フロベニウスによるスカラーの拡張(extension of scalars by Frobenius)は

$X^{(p)}=X{\times }_S{S}_F$

と定義される。テンプレート:Math 要素への射影は、テンプレート:Math を テンプレート:Math-スキームとする。テンプレート:Math が脈絡が明らかではない場合、テンプレート:Math は テンプレート:Math と書かれる。スカラーの制限のように、スカラーの拡張は、函手である。テンプレート:Math-射 テンプレート:Math は テンプレート:Math-射 テンプレート:Math を決定する。

前にのべたように、環 A と A 上の有限生成な代数 R を考え、再び テンプレート:Math とおくと、

$X^{(p)}=\mathrm{Spec}R{\otimes }_A{A}_F$

となる。テンプレート:Math の大域的切断は、

$\sum _i\left(\sum _{\alpha }{a}_{i\alpha }{X}^{\alpha }\right)\otimes b_i=\sum _i\sum _{\alpha }{X}^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^p{b}_i$

の形をしている。ここに α は多重インデックスで、全ての a_iα と b_i は A の元である。この切断上のでの A の元 c の作用は、

$c\cdot \sum _i\left(\sum _{\alpha }{a}_{i\alpha }{X}^{\alpha }\right)\otimes b_i=\sum _i\left(\sum _{\alpha }{a}_{i\alpha }{X}^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c$

である。結局、テンプレート:Math は、

$\mathrm{Spec}A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1^{(p)},\dots ,f_m^{(p)})$

と同型である。ここに、

$f_j=\sum _{\beta }{f}_{j\beta }{X}^{\beta }$

であれば、

$f_j^{(p)}=\sum _{\beta }{f}_{j\beta }^p{X}^{\beta }$

である。任意の A-代数 R に対し同様なことが成り立つ。

スカラーの拡張はベースチェンジであるので、スカラーの拡張は極限や余積を保存する。特に、このことは テンプレート:Math が（群スキームのように）有限の極限を持つことばの代数構造を持っているとすると、テンプレート:Math の形となることを意味する。さらにベースチェンジすることで、スカラーの拡大が有限タイプのときのように、有限表示、分離性、アフィン性などの性質を引き継ぐことを意味する。

スカラーの拡大は、ベースチェインジに対して、うまく振る舞う。射 テンプレート:Math が与えられると、自然な同型:$X^{(p/S)}{\times }_S{S}^{\prime }\cong (X{\times }_S{S}^{\prime }{)}^{(p/S^{\prime })}$ が存在する。

相対的フロベニウス

テンプレート:Math-スキーム X の相対的フロベニウス写像(relative Frobenius morphism)とは、

$F_{X/S}=(F_X,1_S)$

により定義される射

$F_{X/S}:X\to X^{(p)}$

である。絶対フロベニウス写像は自然であるので、相対的フロベニウス写像は、テンプレート:Math-スキームの射である。

例えば、A-代数

$R=A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1,\dots ,f_m).$

を考える。すると、

$R^{(p)}=A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1^{(p)},\dots ,f_m^{(p)})$

を得る。相対的フロベニウス写像は、

$\sum _i\sum _{\alpha }{X}^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _i\sum _{\alpha }{a}_{i\alpha }{X}^{p\alpha }$

により定義される準同型写像 テンプレート:Math である。

相対的フロベニウス写像は、ベースチェインジと整合性を持ち、その意味は、テンプレート:Math と テンプレート:Math との自然な同型の下で、

$F_{X/S}\times 1_{S^{\prime }}=F_{X{\times }_S{S}^{\prime }/S^{\prime }}$

を得る。

相対的フロベニウス写像は、普遍的な同相写像である。テンプレート:Math を開埋め込みとすると、恒等写像となる。テンプレート:Math が テンプレート:Math のイデアル I により決まる閉埋め込みとすると、テンプレート:Math はイデアル層 テンプレート:Math より決定され、相対的フロベニウスは、増強された写像 テンプレート:Math である。

X が テンプレート:Math 上に不分岐であることと、F_X/S が不分岐であること、F_X/S が単射準同型(monomorphism)であることとは同値である。X が テンプレート:Math 上でエタールであることと、F_X/S がエタールであること、F_X/S が同型であることとは同値である。

数論的フロベニウス

テンプレート:仮リンク(Arithmetic and geometric Frobenius)も参照

テンプレート:Math-スキーム テンプレート:Math の数論的フロベニウス写像(arithmetic Frobenius morphism)は、

$F_{X/S}^a=1_X\times F_S$

により定義される同型

$F_{X/S}^a:X^{(p)}\to X{\times }_{S}S\cong X$

である。すなわち、1_X による F_S のベースチェインジである。

繰り返すと、

$R=A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1,\dots ,f_m),$

$R^{(p)}=A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1,\dots ,f_m){\otimes }_A{A}_F,$

であれば、数論的フロベニウスは準同型

$\sum _i\left(\sum _{\alpha }{a}_{i\alpha }{X}^{\alpha }\right)\otimes b_i\mapsto \sum _i\sum _{\alpha }{a}_{i\alpha }{b}_i^p{X}^{\alpha }$

である。テンプレート:Math を

$R^{(p)}=A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1^{(p)},\dots ,f_m^{(p)})$

のように置きなおすと、この準同型は

$\sum a_{\alpha }{X}^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^p{X}^{\alpha }$

となる。

幾何学的フロベニウス

テンプレート:Math の絶対フロベニウス写像が $F_S^{-1}$ を持ち可逆であるとする。$S_{F^{-1}}$ を テンプレート:Math-スキーム $F_S^{-1}:S\to S$ と書くと、$F_S^{-1}$ により テンプレート:Math の拡張スカラーが存在する。

$X^{(1/p)}=X{\times }_S{S}_{F^{-1}}.$

もし、

$R=A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1,\dots ,f_m)$

であれば、$F_S^{-1}$ による拡張は

$R^{(1/p)}=A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1,\dots ,f_m){\otimes }_A{A}_{F^{-1}}.$

を与える。もし、

$f_j=\sum _{\beta }{f}_{j\beta }{X}^{\beta },$

であれば

$f_j^{(1/p)}=\sum _{\beta }{f}_{j\beta }^{1/p}{X}^{\beta },$

と書くことができ、従って、同型

$R^{(1/p)}\cong A[X_1,\dots ,X_n]/(f_1^{(1/p)},\dots ,f_m^{(1/p)})$

が存在する。

テンプレート:Math-スキーム テンプレート:Math の幾何学的フロベニウス写像(geometric Frobenius morphism)は、射

$F_{X/S}^g:X^{(1/p)}\to X{\times }_{S}S\cong X$

であり、

$F_{X/S}^g=1_X\times F_S^{-1}$

で定義される。これは テンプレート:Math による $F_S^{-1}$ のベースチェインジである。

上の A と R の例につづいて、幾何学的フロベニウスは

$\sum _i\left(\sum _{\alpha }{a}_{i\alpha }{X}^{\alpha }\right)\otimes b_i\mapsto \sum _i\sum _{\alpha }{a}_{i\alpha }{b}_i^{1/p}{X}^{\alpha }$

であると定義される。$\{f_j^{(1/p)}\}$ の項で R^(1/p) を書き換えた後、幾何学的フロベニウスは

$\sum a_{\alpha }{X}^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}{X}^{\alpha }$

となる。

ガロア作用としての数論的フロベニウスと幾何学的フロベニウス

テンプレート:Math のフロベニウス写像を同型とすると、フロベニウス写像は テンプレート:Math の群の自己同型の部分群を生成する。テンプレート:Math が有限体のスペクトルとすると、自己同型は素体上の体のガロア群となり、フロベニウス写像とその逆は、双方とも自己同型群を生成する。加えて、テンプレート:Math と テンプレート:Math は テンプレート:Math と同一視される。従って、数論的フロベニウス写像と幾何学的フロベニウス写像は、テンプレート:Math の自己準同型であり、それらは X 上の k のガロア群の作用を導く。

K-点 テンプレート:Math の集合を考える。この集合はガロア作用を伴う。そのような各々の点 x は、構造層から x での剰余体への準同型 テンプレート:Math に対応し、x へのフロベニウス作用は剰余体へフロベニウス準同型を適用することである。このガロア作用は、数論的フロベニウスの作用に一致する。合成写像

${𝒪}_X\to k(x)\stackrel{F}{\to }k(x)$

は、合成写像

${𝒪}_X\stackrel{F_{X/S}^a}{\to }{𝒪}_X\to k(x)$

と、数論的フロベニウスの定義により、同じものとなる。結局、数論的フロベニウスは、明らかに X の自己準同型として、ガロア群の作用を示している。

局所体のフロベニウス

局所体の不分岐有限拡大 テンプレート:Math が与えられると、フロベニウス自己準同型(Frobenius endomorphism)の概念が存在し、剰余体の対応する拡大の中のフロベニウス準同型を誘導する。

テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の 整数環 O_K を持つ局所体の不分岐拡大で、剰余体である最大イデアル テンプレート:Mvar を modulo とする テンプレート:Mvar の整数が位数 テンプレート:Mvar の有限体であるとする。テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 上にある テンプレート:Mvar の素イデアルにならば、つまり、テンプレート:Math が テンプレート:Math を modulo として テンプレート:Mvar の整数であるという定義により不分岐であるならば、テンプレート:Mvar の剰余体は、テンプレート:Mvar の剰余体を拡張である環 テンプレート:Math の有限体となる。ここに テンプレート:Mvar は、テンプレート:Math の次数である。テンプレート:Mvar の整数環 テンプレート:Math の元に対するフロベニウス写像を

$s_{\mathrm{\Phi }}(x)\equiv x^{q}mod\mathrm{\Phi }$

となる テンプレート:Mvar の自己同型 テンプレート:Math として定義する。

大域体のフロベニウス

代数的整数論では、フロベニウス元(Frobenius elements)は、有限次ガロア拡大テンプレート:Mathにおいて不分岐な テンプレート:Mvar の素イデアル テンプレート:Mathに対して定義である。拡大は不分岐であるので、テンプレート:Math の分解群は剰余体の拡大のガロア群である。よって局所的な場合のように、フロベニウス元は テンプレート:Mvar の整数環の元に対して次のように定義することができる。

$s_{\mathrm{\Phi }}(x)\equiv x^{q}mod\mathrm{\Phi }$

ここに テンプレート:Mvar は剰余体 テンプレート:Math/(テンプレート:Math) の位数である。

フロベニウスの持ち上げはテンプレート:仮リンク(p-derivations)に対応している。

例

多項式

テンプレート:Math

の判別式は

テンプレート:Math,

であるので、素数 3 上で不分岐である。また、mod 3 で既約でもある。従って、テンプレート:Math-進数 テンプレート:Math の体への根 テンプレート:Math の添加は、テンプレート:Math の不分岐拡大 テンプレート:Math を与える。テンプレート:Math に最も近い根をとることによりフロベニウス写像の テンプレート:Math の像を見つけることができ、この方法をニュートン法(Newton's method)と呼ばれることもある。このようにして、整数の環 テンプレート:Math の元である、テンプレート:Math-進整数に係数を持つ テンプレート:Math で次数 4 を持つ多項式である。この多項式は、modulo テンプレート:Math では、

${\rho }^3+3(460+183\rho -354{\rho }^2-979{\rho }^3-575{\rho }^4)$

である。

これは テンプレート:Math 上の代数的数であり、テンプレート:Math の テンプレート:Math への埋め込みのことばで、大域的フロベニウスの像を正しく表したものである。さらに、係数は代数的であり、結果は代数的に表すことができる。しかし、これらはガロア群の位数である次数は 120 であり、テンプレート:Math-進の結果が成り立てば、明らかに計算が非常に簡単に遂行できるという結果を示している。

テンプレート:Math が大域体のアーベル拡大であれば、基礎体 テンプレート:Math の素イデアル テンプレート:Math に依存するので、非常に強い合同関係が得られる。例えば、

${\beta }^5+{\beta }^4-4{\beta }^3-3{\beta }^2+3\beta +1=0$

を満たす根 テンプレート:Math を テンプレート:Math へ添加することで得られる テンプレート:Math の拡大 テンプレート:Math を考える。この拡大は位数 5 の巡回拡大で、整数 テンプレート:Math に対し根

$2\cos \frac{2\pi n}{11}$

を持っている。これは、テンプレート:Math のチェビシェフ多項式の根を持っている。

テンプレート:Math

は素数 2, 3, 5 に対するフロベニウス写像の結果を与えるので、より大きな素数で 11 ではない素数、もしくは テンプレート:Math（これは分解する）の形の素数に対しての結果となる。このことは、直ちに、どのようにしてフロベニウス写像が、根 テンプレート:Math を p-番目のべきに mod テンプレート:Math で等しいとする結果を与えるかを示している。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 完全体
• フロベニオイド(Frobenioid)

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
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