素イデアル

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素イデアル（そイデアル、テンプレート:Lang-en-short）は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義されたテンプレート:Sfn。整数環（一般にテンプレート:仮リンク）のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアルの有限個の積として（順序を除いて）一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。スキームの理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという テンプレート:Lang がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。

可換環に対して

定義

可換環 テンプレート:Mvar のイデアル テンプレート:Math が素イデアルであるとは、

を満たすことを言うテンプレート:Sfn。

環 テンプレート:Mvar の素イデアルのなす集合は テンプレート:Math と表される。

例と性質

一般に、可換環 テンプレート:Math において、その素元 テンプレート:Math が生成するイデアル テンプレート:Math は テンプレート:Math でない素イデアルになる。これは逆も正しい。すなわち、テンプレート:Math に対し単項イデアル テンプレート:Math が素イデアルならば、テンプレート:Math は素元である。

局所化

R を環、P をその素イデアルとすると、集合 S=R∖P は積閉集合となる。S による R の局所化 S−1R を RP と書く。これは PRP を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 RP/PRP を κ(P) などと書くこともあるテンプレート:Sfn。

素因子

テンプレート:Main 素イデアル テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar のある元 テンプレート:Math の零化イデアル テンプレート:Math と一致するとき、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の素因子 (テンプレート:Lang-en-short) または伴う素イデアル（テンプレート:Lang-en-short）というテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar の随伴素因子がなす集合を テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math と表す。テンプレート:Math の（包含関係について）極小な素イデアルを孤立素因子といい、これら以外の素因子を非孤立あるいは埋め込まれた素因子という。テンプレート:Mvar がネーター環のとき、随伴素因子は非正則元や加群の台とも関連があり、準素分解で重要な概念である。

可換とは限らない環に対して

定義

単位的環 テンプレート:Mvar のイデアル テンプレート:Mvar が素イデアルであるとは、

テンプレート:Math かつ、任意のイデアル テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math ならば テンプレート:Math または テンプレート:Math

を満たすことを言う。

性質

イデアル テンプレート:Math に対して以下の条件は同値であるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

特に単純環は素環なので極大イデアルは素イデアルである。

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ テンプレート:Reflist

参考文献

関連項目

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