整数環

数学において、代数体 テンプレート:Mvar の整数環（せいすうかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:Mvar に含まれるすべての整な元からなる環である。整な元とは有理整数係数の単多項式 テンプレート:Math の根である。この環はしばしば テンプレート:Math あるいは ${𝒪}_K$ と書かれる。任意の有理整数は テンプレート:Mvar に属し、その整元であるから、環 テンプレート:Math はつねに テンプレート:Math の部分環である。

環 テンプレート:Math は最も簡単な整数環である。すなわち、テンプレート:Math ただし テンプレート:Math は有理数体である。そして実際、代数的整数論では、テンプレート:Math の元はこのためしばしば「有理整数」と呼ばれる。

代数体の整数環は体の一意的な極大テンプレート:仮リンクである。

性質

整数環 テンプレート:Math は有限生成 テンプレート:Math 加群である。実際、それは自由 テンプレート:Math 加群であり、したがって整基底 (integral basis), すなわち次のような基底を持つ：テンプレート:Math ベクトル空間 テンプレート:Mvar の基底 テンプレート:Math であって、テンプレート:Math の各元 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math で一意的に

$x=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$

と表せるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math の自由 テンプレート:Math 加群としての階数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の テンプレート:Math 上のテンプレート:仮リンクに等しい。

代数体の整数環はデデキント整域である。

例

テンプレート:Mvar が素数で、テンプレート:Mvar が[[1の冪根|1の テンプレート:Mvar 乗根]]で、テンプレート:Math が対応する円分体のとき、テンプレート:Math の整基底は テンプレート:Math で与えられるテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar が平方因子を持たない整数で、テンプレート:Math が対応する二次体のとき、テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクの環であり、その整基底は次で与えられる：テンプレート:Math のとき テンプレート:Math で、テンプレート:Math のとき テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。

乗法的構造

整数環において、すべての元は既約元への分解を持つが、環は一意分解の性質を持つとは限らない：例えば、整数環 テンプレート:Math において、元 テンプレート:Math は2つの本質的に異なる既約元への分解を持つ：

$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).$

整数環はつねにデデキント整域であり、したがってイデアルの素イデアルへの一意分解を持つテンプレート:Sfn。

整数環 テンプレート:Mvar の単数全体は、ディリクレの単数定理により、有限生成アーベル群である。捩れ部分群は テンプレート:Mvar の1の冪根全体からなる。捩れなし生成元の集合はテンプレート:仮リンクの集合と呼ばれるテンプレート:Sfn。

一般化

非アルキメデス的局所体 テンプレート:Mvar の整数環を絶対値が 1 以下の テンプレート:Mvar のすべての元の集合として定義する；これは強三角不等式により環であるテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar が代数体の完備化であれば、その整数環は代数体の整数環の完備化である。代数体の整数環はすべての非アルキメデス的完備化において整数であるような元の全体として特徴づけられる。

例えば、テンプレート:Mvar 進整数 テンプレート:Math は [[p進数|テンプレート:Mvar 進数]] テンプレート:Math の整数環である。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Neukirch ANT
• テンプレート:Cite book