二次体

二次体 (にじたい、テンプレート:Lang-en-short) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。

性質

体論・環論

• 任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。
• その整数環がノルムユークリッド整域となる二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ は、d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
• その整数環が一意分解整域となる虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ は、d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 だけである。
• 任意の二次体 K に対して、有理素数 p は、以下のいずれかを満たす。

1. $(p)={𝔭}_1{𝔭}_2$ (${𝔭}_1,{𝔭}_2$ は、相異なる K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で完全分解であるという。)
2. $(p)={𝔭}^2$ ($𝔭$ は、K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で不分解であるという。)
3. $(p)$ は、K の素イデアルである。　(このとき、p は、K で不分岐であるという。)

二次体の判別式

• 二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の判別式を D としたとき、

$D=\{\begin{array}{cc}d& (d\equiv 1mod4),\\ 4d& (d\equiv 2,3mod4).\end{array}$

従って、d ≡ 1 (mod 4) のときは、$\{1,(1+\sqrt{d})/2\}$、それ以外のときは、$\{1,\sqrt{d}\}$ が、$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の整基底となる。

二次体の単数

• E_K を、二次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の単数群としたとき、

1. d = − 1 のとき：E_K = { ± 1, ± i } 。
2. d = −3 のとき：E_K = { ± 1, ± ω, ± ω² } 　(ω = (− 1 + √テンプレート:Overline)/2) 。
3. d < 0 かつ、d ≠ − 1, − 3 のとき：E_K = { ± 1 } 。
4. d > 0 のとき：$E_K=\{\pm {\epsilon }_0^n|n=0,\pm 1,\pm 2,\dots \}$ 　(ε₀ は基本単数)。

• D を、二次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ の判別式とし、自然数 x^*, y^* を、

x² − Dy² = ± 4の最小の有理整数解としたとき、(x^* + y^*√テンプレート:Overline)/2 は、K の基本単数である。

$d\le 14$ に対する基本単数

d	2	3	5	6	7	10	11	13	14
基本単数	$1+\sqrt{2}$	$2+\sqrt{3}$	$(1+\sqrt{5})/2$	$5+2\sqrt{6}$	$8+3\sqrt{7}$	$3+\sqrt{10}$	$10+3\sqrt{11}$	$(3+\sqrt{13})/2$	$15+4\sqrt{14}$

二次体と円分体

• 任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、 $K\subset \mathbb{Q}({\zeta }_n)$ 。ここで、${\zeta }_n$ は、1 の原始 n 乗根である。

特に、n = 2^q (q ≥ 3) とすれば、円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ には、$\mathbb{Q}(\sqrt{-1}),\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ が含まれる。

• 上記のことは、クロネッカー＝ウェーバーの定理の特別な場合である。さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。

二次体と初等整数論

二次体と初等整数論との関係を述べる。

平方剰余の相互法則

$\left(\frac{a}{p}\right)$ をルジャンドル記号とすると、次が成立する。

• 平方因子を持たない素数 a と、2a と互いに素な素数 p に対して、

$\left(\frac{a}{p}\right)=1$ $⟺$ $(p)$ は、$\mathbb{Q}(\sqrt{a})$ 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。

• このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示すことができる。

二次形式

有理整数係数の二元二次形式の類数を H(D) (D は、二次形式の判別式) とし、 二次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ の(代数体としての)類数を、h_K とすると、H(D) = h_K である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。

二次体の類数

ディリクレの類数公式

二次体 K の判別式を D とし、χ を $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}{)}^{\times }$ に対するクロネッカーの指標とする。K に対する ディリクレの L 関数を用いて、K の類数 h_K は

$h_K=\frac{1}{\kappa }L(1,\chi )$

で与えられる。ただし、κ は、

$\kappa =\{\begin{array}{cc}\frac{2\log {\epsilon }_0}{\sqrt{D}}& (D>0),\\ \frac{2\pi }{w\sqrt{-D}}& (D<0),\end{array}$

で与えられる 0 でない実数である。ここで、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数、ε₀ は、K の基本単数とする。

さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。

• K が実二次体のとき

$h_K=-\frac{1}{2\log {\epsilon }_0}\sum _{a=1}^{d-1}\chi (a)\log \sin \frac{a\pi }{d}$.

• K が虚二次体のとき

$h_K=-\frac{w}{2d}\sum _{a=1}^{d-1}\chi (a)a$.

ただし、ε₀ は、K の基本単数、d = |D|、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数とする。

これらの式を総称してディリクレの類数公式という。

類数を表す式は、他にも、デデキントのゼータ関数の $s=1$ での留数で表現するものも知られている。

${\zeta }_K(s)$ を、二次体 K のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。

$\kappa h_K={\mathrm{Res}}_{s=1}{\zeta }_K(s)$。

ただし、κ は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた κ である。

類数に関するガウスの予想

テンプレート:Main ガウスは、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関するガウスの予想という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。 ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。

1. K を二次体とし、D_K, h_K を K の判別式、類数としたとき、$|D_K|\to \mathrm{\infty }$ ならば、$h_K\to \mathrm{\infty }$ である。
2. 類数が 1 である実二次体は、無限に存在する。
3. 与えられた自然数 k に対して、類数が k である虚二次体は有限個しか存在しない。
4. 類数が 1 である虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ は、d が以下の場合に限る。

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

予想 1 について。

予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、ジーゲル (C. L. Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。

$\underset{|D_K|\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log h_K}{\log \sqrt{|D_K|}}=1$。

予想 2 について。

現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。

予想 3 について。

1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。

予想 4 について。

この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、ベイカー (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明)

その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal

外部リンク

• テンプレート:MathWorld (類数が 25 以下の虚二次体のリストアップされている。しかし、d が二次体の判別式であることに注意)
• List of Class Numbers (d < 1000 の虚二次体の類数のリスト)

関連項目

• 二次形式
• 代数体
• 円分体
• ガロア拡大での素イデアルの分解