留数

テンプレート:出典の明記 複素解析学における留数（りゅうすう、テンプレート:Lang-en-short）は、孤立特異点を囲む経路に沿う有理型関数の複素線積分により得られる複素数である。

定義

解析函数 テンプレート:Math に対し テンプレート:Math が孤立特異点であるとき、 テンプレート:Math における留数 $\mathrm{Res}(f,a)$ または ${\mathrm{Res}}_a(f)$が定義でき、

留数定理により次のように定められる。

$\underset{z=a}{\mathrm{Res}}f(z):=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }f(z)𝑑𝑧$

（テンプレート:Math が正則点の場合にもこの積分および留数を考えることができるが、コーシーの積分定理により、その場合留数の値は消える）。ただし、テンプレート:Mvar は虚数単位、積分路 テンプレート:Math は点 テンプレート:Math を中心とする十分小さな円を正の向きに回るものとする（実際には、積分路は、それがガウス平面から切り取る有界領域が テンプレート:Math 以外に テンプレート:Math の特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い）。

無限遠点 テンプレート:Math を含めて テンプレート:Math 上の函数を考えるときは、無限遠点における留数というものを考えることができる。無限遠点 テンプレート:Math に孤立特異点を持つ解析函数 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math なる変数変換を行えば、テンプレート:Math は テンプレート:Math に孤立特異点を持つ（あるいは正則な）解析函数だが、留数 テンプレート:Math は

$\underset{z=\mathrm{\infty }}{\mathrm{Res}}f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }f(1/\zeta )d(1/\zeta )=-\underset{\zeta =0}{\mathrm{Res}}\frac{g(\zeta )}{{\zeta }^2}(\ne \underset{\zeta =0}{\mathrm{Res}}g(\zeta ))$

であることに留意すべきである。

留数計算

解析函数 テンプレート:Math はその孤立特異点 テンプレート:Math の周りでローラン展開

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^n$

を持つ。これは、テンプレート:Math を含み テンプレート:Math を中心とする適当な円環領域上で一様収束するから、テンプレート:Mvar 上項別積分可能で

${\oint }_{\gamma }f(z)𝑑𝑧=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\oint }_{\gamma }(z-a{)}^n𝑑𝑧$

となるが、コーシーの積分定理によりほとんどの項は消えて

$a_{-1}=\underset{z=a}{\mathrm{Res}}f(z)$

となることがわかる。同様に、無限遠点 テンプレート:Math における留数は、テンプレート:Math の テンプレート:Mvar に関するローラン展開が

$g(\zeta )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{\zeta }^n$

で与えられるならば、テンプレート:Math を得る。ゆえに、ローラン展開が既知あるいは容易に計算することのできる函数については、積分を計算することなく直ちに留数を求めることができる。また、孤立特異点 テンプレート:Math が テンプレート:Math の テンプレート:Mvar-位の極であるなら、テンプレート:Math は正則で、とくに

$(z-a{)}^{n}f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k-n}(z-a{)}^k$

とテイラー展開されるので、

$a_{-1}=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{n-1}}{{𝑑𝑧}^{n-1}}[(z-a{)}^{n}f(z)]$

と計算することができる。

留数定理

テンプレート:Main 単純閉曲線 テンプレート:Math と、テンプレート:Math が囲む有界領域 テンプレート:Mvar を考える。テンプレート:Mvar 上で定義される関数 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 内に孤立特異点 テンプレート:Math をもち、それ以外で正則であるなら

${\oint }_{\gamma }f(z)𝑑𝑧=2\pi i\sum _{i=1}^n\underset{z=a_i}{\mathrm{Res}}f(z)$

が成り立つ。ただし、積分は テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の内点からの偏角が正の向き（領域を左に望む方向）に進む。これを留数定理 テンプレート:Lang と呼ぶ。

例1：実軸上の積分

留数定理を用いると、例えば

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{𝑑𝑥}{(1+x^2{)}^{n+1}}$

のような積分が計算できる。まず、テンプレート:Math を複素領域へ拡張した テンプレート:Math を考えると、これは テンプレート:Math に極を持つ。十分大きな テンプレート:Math を取り、区間 テンプレート:Closed-closed を直径とする原点中心の半円板で テンプレート:Math を含むほうの周を テンプレート:Math、テンプレート:Math から直径 テンプレート:Closed-closed を除いた部分を テンプレート:Mvar とする。実軸上を正の向きに進むものとして テンプレート:Math 上で テンプレート:Math を積分すれば

$\underset{C_0}{\int }\frac{𝑑𝑧}{(1+z^2{)}^{n+1}}=\underset{-R}{\overset{R}{\int }}\frac{𝑑𝑥}{(1+x^2{)}^{n+1}}+\underset{C}{\int }\frac{𝑑𝑧}{(1+z^2{)}^{n+1}}$

である。このとき テンプレート:Mvar が十分大きければ テンプレート:Mvar に依らず、テンプレート:Math の囲む領域内で テンプレート:Math は テンプレート:Math-位の極 テンプレート:Math をもち、かつそれ以外には特異点を持たないから、留数定理により左辺は

$\begin{array}{cc}2\pi i\underset{z=i}{\mathrm{Res}}f(z)& =\frac{2\pi i}{n!}\underset{z\to i}{\lim }\frac{d^n}{{𝑑𝑧}^n}\left(\frac{(z-i{)}^{n+1}}{(1+z^2{)}^{n+1}}\right)\\ & =\frac{2\pi i}{n!}{\frac{d^n}{{𝑑𝑧}^n}\frac{1}{(z+i{)}^{n+1}}|}_{z=i}=\frac{\pi (2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\end{array}$

となる。一方、右辺第二項は テンプレート:Math のとき テンプレート:Math に収束するので、結局

$\frac{\pi (2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{𝑑𝑥}{(1+x^2{)}^{n+1}}$

を得る。

例2：偏角の原理

留数定理の系として、偏角の定理あるいは偏角の原理などと呼ばれる次のような定理を得ることができる。

定理

単純閉曲線 テンプレート:Mvar の囲む有界領域 テンプレート:Mvar の閉包を テンプレート:Math とし、テンプレート:Math 上で定義される有理型関数 テンプレート:Math は テンプレート:Math 上に極も零点も持たないとする。このとき、テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 内での零点と極は有限個である。重複度まで込めた零点の個数を テンプレート:Mvar、極の個数を テンプレート:Mvar とすると $$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }d\log f(z)=n-m$$ が成り立つ。さらに一般に、重複度込みで零点が テンプレート:Math、極が テンプレート:Math であるとすると、テンプレート:Math 上の任意の正則関数 テンプレート:Math に対して $$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }g(z)d\log f(z)=\sum _{j=1}^{n}g(a_j)-\sum _{k=1}^{m}g(b_k)$$ が成立する。

例3：バーゼル問題の解

余接関数を使った関数 テンプレート:Math は、全ての整数 テンプレート:Mvar が1位の極であり、留数はいずれも 1 である（これらが特異点の全てである）。このことを利用して、

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

のような無限和の計算ができる。

例えば テンプレート:Math ととる。テンプレート:Mvar を整数とし、テンプレート:Mvar を正方形 テンプレート:Math の周に反時計回りに向きを付けた閉路とする。

留数定理により、

$\frac{1}{2\pi i}\underset{{\mathrm{\Gamma }}_N}{\int }f(z)\pi \cot (\pi z)dz=\underset{z=0}{\mathrm{Res}}f(z)\pi \cot (\pi z)+\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{n=-N}{n\ne 0}}^N{n}^{-2}.$

左辺は テンプレート:Math のとき、0に収束する。なぜなら被積分関数の[[ランダウの記号|オーダーが テンプレート:Math]] だからである。

一方、

$\frac{z}{2}\cot \left(\frac{z}{2}\right)=1-B_2\frac{z^2}{2!}+\cdots ;B_2=\frac{1}{6}$

である。実際これは、テンプレート:Math と変形することで分かる（ベルヌーイ数を参照）。これより、留数 $\underset{z=0}{\mathrm{Res}}f(z)\pi \cot (\pi z)$ は テンプレート:Math に等しい。

以上より

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

であることがわかり、バーゼル問題の解法の一つが得られた。

例4：余接関数の部分分数展開

同じ技巧を用いて、整数でない任意の複素数 テンプレート:Mvar について

$\pi \cot (\pi z)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=-N}^N(z-n{)}^{-1}$

が各点収束の意味で成り立っていることが証明できる（部分分数展開）。

テンプレート:Mvar を整数でない複素数として、テンプレート:Math ととる。例3と同様にして

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2\pi i}\underset{{\mathrm{\Gamma }}_N}{\int }f(z)\pi \cot (\pi z)dz& =\underset{z=w}{\mathrm{Res}}f(z)\pi \cot (\pi z)+\sum _{n=-N}^N\frac{1}{w-n}\\ & =-\pi \cot (\pi w)+\sum _{n=-N}^N\frac{1}{w-n}\end{array}$

が得られる。今回難しいのは、左辺の複素線積分が消えることの証明である。そこで

$\underset{{\mathrm{\Gamma }}_N}{\int }\frac{\pi \cot (\pi z)}{z}dz=0$

であることを利用する。これが成り立つのは、被積分関数が偶関数であるため、左半平面にある経路からの寄与と右半平面にある経路からの寄与が互いに打ち消し合うからである。

よって、

$\underset{{\mathrm{\Gamma }}_N}{\int }f(z)\pi \cot (\pi z)dz=\underset{{\mathrm{\Gamma }}_N}{\int }(\frac{1}{w-z}+\frac{1}{z})\pi \cot (\pi z)dz$

は テンプレート:Math のとき 0 に収束する。

このことと留数定理の等式とをあわせて、文字を テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar に取り換えれば、最初に提示した等式になる。

参考文献

• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:ProofWiki

関連項目

• コーシーの積分定理
• ルーシェの定理