テイラー展開

テイラー多項式の次数が上がるにつれて、正しい関数に近づく。この図は テンプレート:Math と、そのテイラー近似のうち、1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 次の多項式を示している。

指数関数 テンプレート:Math (青) と、その テンプレート:Math におけるテイラー級数の最初の テンプレート:Math 項の和 (赤)。

数学においてテイラー級数（テイラーきゅうすう、テンプレート:Lang-en-short）は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開（テイラーてんかい）という。

テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (テンプレート:Lang-en-short) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。

関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はテイラー多項式と呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間（あるいは複素平面の開円板）でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。

前述の通り、一定の条件の下でテイラー展開の高次の項を無視することができる。例えば単振り子の問題では、振り子の振れ角 テンプレート:Mvar が充分小さいことを利用して、正弦関数 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar で近似できる。このように、関数をテイラー展開することで計算が容易になり、また原点近傍の振る舞いを詳細に調べることができるようになる。

一実変数関数のテイラー展開

正弦関数$f(x)=\sin x$の$x=a$におけるテイラー級数のうち次数の少ない項のみを抽出したもの

$\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

（マウスホイールで$n$を変更）

点 テンプレート:Mvar を含む実数の開区間 テンプレート:Math 上で無限階微分可能な関数 テンプレート:Math が与えられたとき、べき級数

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

を関数 テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar まわりのテイラー級数という。ここで テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の階乗、テンプレート:Math は テンプレート:Math における テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 次微分係数である。また、便宜的に テンプレート:Math は 1 であると定義する。テイラー級数が収束し、元の関数 テンプレート:Mvar に一致するとき、テンプレート:Mvar はテイラー展開可能であるという。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的 (テンプレート:En) である、またはその領域上の解析関数 (テンプレート:En) であるという。

ここで一般には関数 テンプレート:Mvar が無限回微分可能であってもそのテイラー級数が テンプレート:Math で収束するとは限らずテンプレート:Sfn、たとえ収束しても一致するとは限らないテンプレート:Sfnことに注意が必要である。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 テンプレート:Mvar が 0 に収束するかどうかによって判定できる；ここで剰余項 テンプレート:Mvar は、ある テンプレート:Math が存在して、

$R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-a{)}^n$

と書ける。または積分を用いて、次のように表せる。

$R_n(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}{f}^{(n)}(t)\mathrm{d}t$

また、この剰余項を評価することで関数の近似値を精度保証つきで数値的に求めることもできる（テイラーの定理#例を参照）。

特に テンプレート:Math における以下のような展開

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$

をマクローリン展開（マクローリンてんかい、テンプレート:Lang-en-short; 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する）と呼ぶ。

マクローリン級数の例

いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。テンプレート:Mvarについてのforの範囲外の実数をテンプレート:Mvarに代入したら発散する（ただし、元の関数が収束することもある）。

なお、テンプレート:Math の展開に現われる テンプレート:Mvar 、二項展開の $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})$ 、テンプレート:Math の展開に現われる テンプレート:Mvar はそれぞれベルヌーイ数、二項係数、オイラー数である。また、テンプレート:Math は テンプレート:Math の逆関数であるとする。

多項式

多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。

指数関数

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\text{ for all }x$

自然対数

$\log (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}\text{ for }|x|<1$

$\log (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n\text{ for }|x|<1$

幾何級数

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\text{for }|x|<1$

$\frac{1}{(1-x{)}^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}\text{ for }|x|<1$

$\frac{x}{(1-x{)}^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{x}^n\text{ for }|x|<1$

$\frac{2}{(1-x{)}^3}=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(n-1)n{x}^{n-2}\text{ for }|x|<1$

$\frac{2x^2}{(1-x{)}^3}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n-1)n{x}^n\text{ for }|x|<1$

二項定理

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n\text{for }|x|<1\text{ and any complex }\alpha$

三角関数

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\text{ for all }x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ for all }x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}\text{ for }|x|<\frac{\pi }{2}$

$\csc x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2-2^{2n})B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}\text{ for }0<|x|<\pi$

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ for }|x|<\frac{\pi }{2}$

$\cot x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{2n}{B}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}\text{ for }0<|x|<\pi$

${\sin }^{-1}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ for }|x|<1$

${\cos }^{-1}x=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ for }|x|<1$

${\tan }^{-1}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{ for }|x|<1$

双曲線関数

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\text{ for all }x$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n}\text{ for all }x$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}\text{ for }|x|<\frac{\pi }{2}$

${\sinh }^{-1}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{ for }|x|<1$

${\tanh }^{-1}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{ for }|x|<1$

ランベルトのW関数

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n\text{ for }|x|<\frac{1}{e}$

一変数複素関数のテイラー展開

点 テンプレート:Mvar を含む開集合 テンプレート:Math 上で微分可能、すなわち正則な複素関数 テンプレート:Math が与えられたとき、べき級数

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a{)}^n$

を関数 テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar まわりのテイラー級数という。正則関数の解析性から、点 テンプレート:Mvar を中心として テンプレート:Mvar に包含されるような任意の開円板 テンプレート:Math 上でこの級数は テンプレート:Math に収束する。

剰余項 テンプレート:Mvar は複素線積分を用いて、次のように表せる：

$R_n(z)=(z-a{)}^n\left[\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(w)}{(w-a{)}^n(w-z)}\mathrm{d}w\right]$

ここで テンプレート:Math は、点 テンプレート:Math とテンプレート:Math を囲み、周および内部が テンプレート:Mvar に含まれるような反時計回りの円周である。

多変数関数のテイラー展開

テイラー展開は一変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。テンプレート:Mvar 変数関数 テンプレート:Mvar のテイラー展開は以下の式である。

$f(x_1,\dots ,x_d)=\sum _{n_1=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n_2=0}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{n_d=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x_1-a_1{)}^{n_1}\cdots (x_d-a_d{)}^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\left(\frac{{\partial }^{n_1+\cdots +n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots ,a_d).$

多重指数記法を用いれば、テンプレート:Mvar 変数関数 テンプレート:Math のテイラー展開は次式で表現される。

$f(𝐱)=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}_0^d}^{}\frac{(𝐱-𝐚{)}^{\alpha }}{\alpha !}({\mathrm{\partial }}^{\alpha }f)(𝐚)$

アインシュタインの縮約記法を用いれば、多変数関数 テンプレート:Math のテイラー展開は次式である。

$f(x^{\mu })=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{[(x^{\mu }-{\alpha }^{\mu }){\partial }_{\mu }]}^{n}f({\alpha }^{\mu })$

上式の テンプレート:Math は微分演算子であり、ベクトル解析の記法では テンプレート:Math に置き換えられる。一番後ろに テンプレート:Math があるが、これは テンプレート:Math に左の演算子を作用させてから テンプレート:Math の引数として テンプレート:Mvar を与えることを表していることに注意する。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 正則関数
• 解析関数
• 整関数
• 収束半径
• ローラン展開
• 漸近展開
• パデ近似

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:YouTube

pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora