逆写像

数学における逆写像（ぎゃくしゃぞう、テンプレート:Lang-en-short）は一口に言えば写像の与える元の対応関係を「反対」にして得られる写像である。すなわち、写像テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar に写すならば、テンプレート:Mvar の逆写像はテンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar に写し戻す^[1]。

函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数 テンプレート:Lang と呼ばれる。

定義

テンプレート:See also 写像テンプレート:Mvar の定義域を集合テンプレート:Mvar, 値域を集合テンプレート:Mvar とする。写像テンプレート:Mvar が可逆テンプレート:Lang であるとは、テンプレート:Mvar を定義域、テンプレート:Mvar を値域とする写像テンプレート:Mvar で、条件

f (x) = y ⟺ g (y) = x

を満足するものが存在するときに言う。テンプレート:Mvar が可逆ならば写像テンプレート:Mvar は一意である（つまり、この性質を満たす写像テンプレート:Mvar はただ一つ存在して、一つよりも多くも少なくもない）。写像テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar の逆写像と呼び、テンプレート:Math で表す。

別な言い方をすれば、写像が可逆であるための必要十分条件は、その逆関係が再び写像となることである（このとき、逆関係が逆写像を与える）^[2]。

必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、上記の条件を適用するためには「値域テンプレート:Mvar の各元テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar でテンプレート:Mvar に写されるような定義域テンプレート:Mvar の元テンプレート:Mvar がちょうど一つ存在する」必要がある。この性質を満たす写像テンプレート:Mvar は一対一あるいは単射と呼ばれる。テンプレート:Mvar およびテンプレート:Math がそれぞれテンプレート:Mvar およびテンプレート:Mvar 上の写像となるとき、これらはともに全単射となる。後述するように、全単射とならない単射の逆は部分写像として与えられる（すなわち、対応する値が定義されないテンプレート:Math が存在する）。

例

函数テンプレート:Math はどのような種類の数の集合を（定義域として）考えるのかによって、可逆になることもあるしならないこともある。

定義域として実数直線全体を考えれば、各テンプレート:Math に対して対応する定義域テンプレート:Mvar の点が二種類（一方は正で他方は負）が考えられるから、出力値から入力値を特定することができず、これは可逆でない。

この函数の定義域を非負実数全体に制限すれば、得られる函数は単射となり、特に可逆である。

高等数学における逆写像

テンプレート:Main 既に述べた定義は集合論および初等解析学によく馴染むものである。進んだ数学では

f : X \to Y

終域を気にする立場では、写像テンプレート:Math の逆写像は始域テンプレート:Mvar と終域テンプレート:Mvar を持つ必要がある。逆写像がテンプレート:Mvar の全域で定義されるためには、テンプレート:Mvar の全ての元が写像テンプレート:Mvar の値域に入っていなければならない。このような性質を持つ写像は上への写像 テンプレート:Lang または全射テンプレート:Lang という。ゆえに、終域を持つ写像が可逆となる必要十分条件は、それが一対一かつ上への写像となることである。そのような写像は、一対一対応 テンプレート:Lang または全単射 テンプレート:Lang といい、テンプレート:Mvar の各元テンプレート:Mvar にちょうど一つの元テンプレート:Math が対応するという性質を持つ。

逆写像と写像の合成

可逆写像テンプレート:Mvar の始域がテンプレート:Mvar、値域がテンプレート:Mvar であるとき

f^{- 1} (f (x)) = x (\forall x \in X)

が成り立つ。写像の合成の言葉で書き直せば

f^{- 1} \circ f = {id}_{X}

となる。ここでテンプレート:Math は集合テンプレート:Mvar 上の恒等写像（つまり、引数の値を変えない写像）である。圏論ではこれを逆射の定義として用いる。

写像の合成を考えることはテンプレート:Math なる記法を用いることの理解を助ける。自分自身と繰り返し合成を取ることは反復合成と呼ばれ、写像テンプレート:Mvar を初期値テンプレート:Mvar にテンプレート:Mvar-回適用したものをテンプレート:Math で表す。たとえばテンプレート:Math などである。さてテンプレート:Math が成り立つから、テンプレート:Math とテンプレート:Math との合成はテンプレート:Math となり、テンプレート:Math の適用はテンプレート:Mvar を一つ適用する操作を「取り消す」("undoing") 操作として働く。

記法についての注意

記法テンプレート:Math は値テンプレート:Math の乗法逆元を意味する記法テンプレート:Math としばしば誤解されるが、後者はテンプレート:Mvar の逆写像とは無関係である。

数式テンプレート:Math は乗法逆元を表すものではなく^[4]、正弦函数の逆函数（実際には逆部分函数）をテンプレート:Mvar に適用したものを意味する。混乱を避けるため、逆三角函数には接頭辞 "arc-"（テンプレート:Lang-la-short）を付けることがしばしば行われる。例えば正弦函数テンプレート:Math の逆函数は典型的には逆正弦函数 arcsine と呼ばれ、テンプレート:Math と書かれる。同様に双曲線函数の逆函数は接頭辞 "ar-"（テンプレート:Lang-en-short）を付ける。

性質

一意性

与えられた写像テンプレート:Mvar に対して、その逆写像は存在すれば唯一つである。それはテンプレート:Mvar を関係と見たときの逆関係に一致しなければならない。

対称性

写像とその逆写像との間には対称性が存在する。テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への可逆写像ならば、その逆写像テンプレート:Math はテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への写像であり、かつテンプレート:Math の逆写像はもとの写像テンプレート:Mvar に一致する。記号で書けば、テンプレート:Math およびテンプレート:Math に対して

g \circ f = {id}_{X} ⟹ f \circ g = {id}_{Y}

が成り立つ。これは関係の逆転が対合であることにより、逆写像と逆関係との間の関係から従う。

この主張は可逆写像が（第一の定義では）単射または（第二の定義では）全単射とならなければならないことから明らかに演繹される帰結である。この対合対称性は

(f^{- 1})^{- 1} = f

という式として簡潔に表現できる。

合成写像の逆写像は

(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}

なる式で与えられる。ここでテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar が逆順になっていることに注意。「まずテンプレート:Mvar を施してからテンプレート:Mvar を施す」という操作を取り消すには、「まずテンプレート:Mvar を取り消してからテンプレート:Mvar を取り消す」ようにしなければならない。

たとえば、テンプレート:Math およびテンプレート:Math とすると、それらの合成テンプレート:Math は、まずテンプレート:Math-倍してからテンプレート:Math を加える函数

(g \circ f) (x) = 3 x + 5

である。この過程を逆にするには、まずテンプレート:Math を引いて、そのあとテンプレート:Math で割る

(g \circ f)^{- 1} (y) = \frac{1}{3} (y - 5)

としなければならない。これはテンプレート:Math に等しい。

自己逆性

任意の集合テンプレート:Mvar に対して、そのうえの恒等写像はそれ自身を逆写像として持つ。つまり

{id}_{X}^{- 1} = {id}_{X}

が成り立つ。もっと一般に、函数テンプレート:Math がその逆函数と相等しいための必要十分条件は、合成函数テンプレート:Math がテンプレート:Math に等しいことである。このような写像は対合と呼ばれる。

逆函数

一変数の初等解析学では実数を実数に写す写像である実函数を主に考える。そのような函数は、しばしば

f (x) = (2 x + 8)^{3}

のような明示的な数式を通して定義される。実一変数実数値函数テンプレート:Mvar はそれが一対一である限り逆函数を持つ。

いくつかの標準的な実函数とその逆函数
函数テンプレート:Math	逆函数テンプレート:Math	注意
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Mvar	テンプレート:Mvar	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math のときに限る
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math は実数（特に制限無し）
テンプレート:Mvar	テンプレート:Math	一般にテンプレート:Math
テンプレート:Mvar	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Mvar	テンプレート:Math	テンプレート:Math かつテンプレート:Math
三角函数	逆三角函数	いろいろと制約がある
テンプレート:Mvar	ランベルトのW関数

逆函数の式

テンプレート:Math が存在するとき、その式を求める方法のひとつが、方程式テンプレート:Math をテンプレート:Mvar について解くことで与えられる。例えば、テンプレート:Mvar が

f (x) = (2 x + 8)^{3}

なる式で与えられているとき、方程式テンプレート:Math をテンプレート:Mvar について解けば、

\begin{matrix} y & = (2 x + 8)^{3} \\ \sqrt[3]{y} & = 2 x + 8 \\ \sqrt[3]{y} - 8 & = 2 x \\ \frac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x \end{matrix}

となるから、求める逆函数テンプレート:Math が

f^{- 1} (y) = \frac{\sqrt[3]{y} - 8}{2}

なる式で与えられる。しかしいつでもこのような逆函数の求め方が通用するわけではない。例えばテンプレート:Mvar が

f (x) = x + \sin x

なる函数であれば、テンプレート:Mvar は一対一で、したがって逆函数テンプレート:Math を持つのだが、この逆函数を与える公式は無限項の和

f^{- 1} (y) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{y^{\frac{n}{3}}}{n!} \lim_{θ \to 0} \frac{d^{n - 1}}{d θ^{n - 1}} {(\frac{θ}{\sqrt[3]{θ - \sin (θ)}})}^{n}

となる（ケプラーの方程式#逆ケプラー方程式を参照）。

逆函数のグラフ

テンプレート:Mvar が可逆ならば函数

y = f^{- 1} (x)

のグラフと方程式

x = f (y)

のグラフは同一である。このことはテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の役割が入れ替わっていることを除けば、方程式テンプレート:Math がテンプレート:Mvar のグラフを定義することと同じである。したがって、逆函数テンプレート:Math のグラフは、函数テンプレート:Mvar のグラフでテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の位置を入れ替えることによって得られる。これは、これらのグラフが直線テンプレート:Math に関して線対称であるといっても同じことである。

逆函数の微分

実一変数実数値の連続函数テンプレート:Mvar が一対一（したがって可逆）となるために必要十分な条件は、それが狭義単調となる（極値を持たない）ことである。たとえば、函数

f (x) = x^{3} + x

は可逆である。これが単調増大であることはその導函数テンプレート:Math が常に正値であることからわかる。

実一変数実数値函数が可微分ならば、その逆函数テンプレート:Math もテンプレート:Math である限り可微分で、その導函数は逆函数定理により

\frac{d}{d y} (f^{- 1} (y)) = \frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (y))}

で与えられる。これはテンプレート:Math とおくと

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x}

と表すことができる。これは連鎖律から導くことができる。

逆函数定理は多変数函数に対しても一般化することができる。特に、多変数可微分函数テンプレート:Math は、点テンプレート:Mvar におけるテンプレート:Mvar の函数行列が可逆である限り、点テンプレート:Mvar の近傍で可逆である。この場合、点テンプレート:Math におけるテンプレート:Math の函数行列はテンプレート:Mvar におけるテンプレート:Mvar の函数行列の逆行列である。

一般化

偏逆写像テンプレート:Anchors

写像テンプレート:Mvar が一対一でない場合にも、テンプレート:Mvar の偏逆写像もしくは逆部分写像 テンプレート:Lang を始域を制限することによって定義することができる。たとえば函数

f (x) = x^{2}

はテンプレート:Math となるから一対一ではない。しかし、テンプレート:Math に始域を制限すれば一対一になり、このとき

f^{- 1} (y) = \sqrt{y}

となる（定義域をテンプレート:Math に制限したときは、逆函数は負の平方根を与えるものになる）。あるいは、逆函数を多価函数

f^{- 1} (y) = \pm \sqrt{y}

として考えるならば始域を制限する必要も無い。

このような多価逆函数をテンプレート:Mvar の全逆函数もしくは完全逆写像 テンプレート:Lang などと呼び、その（テンプレート:Math やテンプレート:Math のような）部分のことを枝もしくは分枝テンプレート:Lang と呼ぶ場合もある。（例えば正の平方根のような）多価函数の最も重要な枝は主枝テンプレート:Lang といい、逆函数のテンプレート:Mvar における値で主枝に属するものをテンプレート:Math の主値テンプレート:Lang と呼ぶ。

実数直線上の連続函数に対して、極値の隣り合う対にそれぞれ、その全逆函数の一つの（連続な）枝が対応する。例えば、極大値と極小値をもつ三次函数の逆函数は、三つの分枝を持つ。

こういったことへの配慮は、特に三角函数の逆函数を定義する際には重要である。例えば、正弦函数は任意の実数に対して

\sin (x + 2 π) = \sin (x)

を満たす（もっと一般に任煮の整数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math を満たす）から一対一ではない。しかし、区間テンプレート:Math 上で正弦函数は一対一であり、対応する偏逆函数は逆正弦函数 arcsine と呼ばれる。これは（全）逆正弦函数の主枝であると考えられ、そたがってこの逆函数の主値は常にテンプレート:Math とテンプレート:Math の間に値を持つ。

逆三角函数の主枝
函数	通常用いられる主値の範囲
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math

左逆写像

写像テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar の左逆写像 テンプレート:Lang あるいは引込みテンプレート:Lang とは、

g \circ f = {id}_{X}

を満たす写像テンプレート:Math のことをいう。つまり、テンプレート:Mvar の各元テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Mvar は

f (x) = y ⟹ g (y) = x

を満たす。したがってテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の値域上ではテンプレート:Mvar の逆写像と一致しなければならないが、値域に入らないテンプレート:Mvar の元に対してはどのような値をとろうとも支障ない。写像テンプレート:Mvar が左逆写像をもつならばテンプレート:Mvar は単射であることが次のように証明できる。写像テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の左逆写像とする。テンプレート:Math がテンプレート:Math を満たすとすると、テンプレート:Math からテンプレート:Math なので、テンプレート:Math したがって、テンプレート:Mvar は単射である。

逆に写像テンプレート:Math が（空写像ではない）単射ならば、適当なテンプレート:Math を選んで、次のように左逆写像テンプレート:Math を構成することができる。

g (y) = {\begin{matrix} x, & if \exists x \in X [f (x) = y] \\ x_{0}, & else \end{matrix}

このように古典数学では任意の単射テンプレート:Mvar は左逆写像を持つことが必要となるが、テンプレート:疑問点範囲。

右逆写像

写像テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar の右逆写像 テンプレート:Lang あるいは切断もしくは断面テンプレート:Lang とは

f \circ h = {id}_{Y}

を満たす写像テンプレート:Math のことをいう。つまりテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の各元テンプレート:Mvar に対して

h (y) = x ⟹ f (x) = y

なる条件を満足する。したがってテンプレート:Math はテンプレート:Mvar によってテンプレート:Mvar へ写されるようなテンプレート:Mvar ならばどのようなものでもよい。写像テンプレート:Mvar が右逆写像をもつ必要十分な条件は、テンプレート:Mvar が全射となることである（ただし一般には、選択公理が必要となるので、右逆写像を構成的に得ることはできない）。

（証明）写像テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math をテンプレート:Mvar の右逆写像とする。このとき、任意のテンプレート:Math に対してテンプレート:Math とすれば、テンプレート:Math となるのでテンプレート:Mvar は全射。

逆に写像テンプレート:Math を全射とする。すると、任意のテンプレート:Math においてテンプレート:Mvar の原像テンプレート:Math は空ではない。したがって集合族テンプレート:Math （これはテンプレート:Mvar によるテンプレート:Mvar の類別でもある）に対して選択関数テンプレート:Math が定義できる。このとき、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への写像となっており、テンプレート:Math となることからテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の右逆写像である。∎

左逆写像にも右逆写像にもなっている逆写像は一意でなければならない。同様に、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の左逆写像のとき、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の右逆写像である場合もあるし、そうでない場合もある。またテンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の右逆写像であるときも、テンプレート:Mvar は必ずしも左逆写像でなくてよい。例えばテンプレート:Math がテンプレート:Math の各元テンプレート:Mvar に対してその平方を与える函数テンプレート:Math とし、テンプレート:Math を各テンプレート:Math に対して正の平方根を与える函数テンプレート:Math とすると、テンプレート:Math のどの元テンプレート:Mvar に対してもテンプレート:Math が成り立つ。つまり、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の右逆函数である。しかし、例えばテンプレート:Math であるから、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の左逆函数にはなっていない。

原像

テンプレート:Math を（必ずしも可逆でない）任意の写像とするとき、テンプレート:Mvar の元テンプレート:Mvar の原像または逆像が、テンプレート:Mvar によってテンプレート:Mvar に写されるテンプレート:Mvar の元全体の成す集合

f^{- 1} ({y}) = {x \in X : f (x) = y}

として定まる。テンプレート:Mvar の原像は、全逆写像によるテンプレート:Mvar の像（完全逆像）として考えることができる。

同様に、テンプレート:Mvar を終域テンプレート:Mvar の任意の部分集合とすると、S のテンプレート:Mvar による原像が、テンプレート:Mvar によってテンプレート:Mvar へ写されるテンプレート:Mvar の元全体からなる集合

f^{- 1} (S) = {x \in X : f (x) \in S}

として定まる。たとえば、函数テンプレート:Math を考えると、この函数は既に述べたように可逆ではないが、しかし終域の部分集合に対する原像は定義できて、たとえば

f^{- 1} ({1, 4, 9, 16}) = {- 4, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4}

となる。一つの元テンプレート:Math の原像（同じことだが、一元集合テンプレート:Math の原像）は、テンプレート:Mvar のファイバー テンプレート:Lang と呼ばれることもある。テンプレート:Mvar が実数全体からなる集合のとき、テンプレート:Math は等位集合として言及されることも多い。

注

テンプレート:Reflist テンプレート:Reflist

参考文献

外部リンク

[1] テンプレート:Cite web

[2] テンプレート:Harvnb

[3] テンプレート:Harvnb

[4] テンプレート:Harvnb

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逆写像

目次

定義