極値

数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、テンプレート:Lang-en-shortテンプレート:Efn2）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。

定義

テンプレート:Mvar 次元ユークリッド空間 テンプレート:Math の開集合 テンプレート:Mvar 上で定義された実数値関数 テンプレート:Math をとるテンプレート:Efn2。 関数 テンプレート:Mvar を定義域 テンプレート:Mvar に属する点 テンプレート:Mvar のある テンプレート:Mvar 近傍に制限すると値 テンプレート:Math がその最小値であるとき、値 テンプレート:Math を関数 テンプレート:Mvar の極小値（テンプレート:Lang）といい、点 テンプレート:Mvar を関数 テンプレート:Mvar の極小点（テンプレート:Lang）という。この条件は論理式を用いると

$\mathrm{\exists }\epsilon >0[\mathrm{\forall }q\in U[d(p,q)<\epsilon ⟹f(p)\le f(q)]]$

と表せるテンプレート:Efn2。同様に関数 テンプレート:Mvar を定義域 テンプレート:Mvar に属する点 テンプレート:Mvar のある テンプレート:Mvar 近傍に制限すると値 テンプレート:Math がその最大値であるとき値 テンプレート:Math を関数 テンプレート:Mvar の極大値（テンプレート:Lang）といい、点 テンプレート:Mvar を関数 テンプレート:Mvar の極大点（テンプレート:Lang）という。

極小値と極大値を総称して極値（テンプレート:Lang）といい、極小点と極大点を総称して極値点という。

上の条件に現れる テンプレート:Math を テンプレート:Math へ置き換えたとき、値 テンプレート:Math を関数 テンプレート:Mvar の狭義の極小値（テンプレート:Lang）という。同様に狭義の極大値（テンプレート:Lang）も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。（ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。）

必要条件

原点は関数 テンプレート:Math の停留点ではあるが、極値点ではない。

テンプレート:Mvar 次元ユークリッド空間 テンプレート:Math の開集合 テンプレート:Mvar 上で定義された実数値関数 テンプレート:Math をとり、これが微分可能であるとする。

定義域 テンプレート:Mvar に属する点 テンプレート:Mvar における関数 テンプレート:Mvar の勾配

$\mathrm{\nabla }f(p)=[\frac{\partial f}{\partial x_1}(p),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(p)]$

が テンプレート:Math であるとき、点 テンプレート:Mvar を関数 テンプレート:Mvar の停留点（テンプレート:Lang）あるいは臨界点（テンプレート:Lang）といい、値 テンプレート:Math を停留値（テンプレート:Lang）あるいは臨界値（テンプレート:Lang）という。

点 テンプレート:Mvar が関数 テンプレート:Mvar の極値点であるためには、点 テンプレート:Mvar が関数 テンプレート:Mvar の停留点であることが必要である。

十分条件

原点は関数 テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math すべての停留点である。関数 テンプレート:Math の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 テンプレート:Math は狭義の極小値をとる。また関数 テンプレート:Math の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 テンプレート:Math の鞍点である。一方で関数 テンプレート:Math の原点におけるヘッセ行列は特異行列であり、原点で退化している。

テンプレート:Mvar 次元ユークリッド空間 テンプレート:Math の開集合 テンプレート:Mvar 上で定義された実数値関数 テンプレート:Math をとり、これが2回連続微分可能であるとする。

関数 テンプレート:Mvar の停留点 テンプレート:Mvar におけるヘッセ行列

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(p)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}(p)& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}(p)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}(p)& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}(p)\end{array}\right]$

が正の定符号（テンプレート:Math）であるならば関数 テンプレート:Mvar は点 テンプレート:Mvar において狭義の極小値をとるテンプレート:Sfn。またヘッセ行列 テンプレート:Math が負の定符号（テンプレート:Math）であるならば関数 テンプレート:Mvar は点 テンプレート:Mvar において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 テンプレート:Mvar は点 テンプレート:Mvar において極値をとらない（このとき点 テンプレート:Mvar は関数 テンプレート:Mvar の鞍点と呼ばれる）。

この方法テンプレート:Efn2により、ヘッセ行列 テンプレート:Math が特異行列で停留点 テンプレート:Mvar が退化している場合を除けば、極値判定ができる。

関連項目

• ラグランジュの未定乗数法

参考文献

• テンプレート:Cite book

書評 テンプレート:Doi

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Nlab