全微分

微分積分学における多変数函数の全微分商、全微分係数あるいは単に全微分（ぜんびぶん、テンプレート:Lang-en-short）は、外生的な変数の（任意に小さな）変分に対する函数の変分の割合（差分商）の極限である。このとき、外生的な変数による直接的な影響のみならず函数が持つ他の内生的変数を通じてもたらされる影響をも考慮する必要がある。これは（差分商の極限として定義される通常の実函数の微分を形式的に多変数化して得られる）より弱い概念である偏微分を用いるのでは有効な結果を得られないような解析学的主張に対して、より多くの結果を得られるということであり、またこの意味において、微分積分学の様々な概念がこの全微分をもとにして定義される。現代数学の多くの文献において、全微分（全微分可能）を単に微分（微分可能）のように言うことはよくある。というより偏微分との区別のための強調語の過ぎないのでこの姿勢の方が本来自然である。

多変数函数に対する全微分可能性は、多変数の微分積分学における基本性質の一つである。函数の与えられた点における全微分可能性は、函数が局所的に線型変換で近似されることを意味している。これに対し、（任意方向の）偏微分は、任意方向を持つ直線上における線形近似に過ぎず、全体としては線型近似になるとは限らない。函数テンプレート:Mvar の変数テンプレート:Mvar に関する全微分の計算において、テンプレート:Mvar 以外の変数を定数と見なすことは必要でなく、実際他の変数がテンプレート:Mvar に依存することが許される。全微分ではテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar に対する依存関係として、このような変数間の陰伏的な従属関係も含めて考えるのである^[1]テンプレート:Rp。その意味において函数の全微分商は、函数の偏微分商とは異なる。

例えば、函数テンプレート:Math のテンプレート:Mvar に関する全微分商は

\frac{𝑑 𝑓}{𝑑 𝑡} = \frac{\partial f}{\partial t} \frac{𝑑 𝑡}{𝑑 𝑡} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{𝑑 𝑥}{𝑑 𝑡} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{𝑑 𝑦}{𝑑 𝑡}

であり、これはまた

\frac{𝑑 𝑓}{𝑑 𝑡} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{𝑑 𝑥}{𝑑 𝑡} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{𝑑 𝑦}{𝑑 𝑡}

と簡約することができる。両辺に無限小変分テンプレート:Mvar を掛ければ

𝑑 𝑓 = \frac{\partial f}{\partial t} 𝑑 𝑡 + \frac{\partial f}{\partial x} 𝑑 𝑥 + \frac{\partial f}{\partial y} 𝑑 𝑦

と書くこともできる。最後の式は、テンプレート:Mvar を多変数函数テンプレート:Mvar の無限小変分と見ることも、線型主要部と見ることもできる。テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar に依存しているのだから、その変分にはテンプレート:Mvar に関するテンプレート:Mvar の偏微分からの寄与がいくらかはあるはずであるが、ほかの変数テンプレート:Mvar に関するテンプレート:Mvar の偏微分からの寄与も同様に来るはずである。無限小変分テンプレート:Mvar に対するテンプレート:Mvar およびテンプレート:Mvar の全微分を考えることにより、無限小変分テンプレート:Mvar およびテンプレート:Mvar が求まるから、これらを用いてテンプレート:Mvar への寄与を知ることができる。

フレシェ微分は無限次元空間上で定義される全微分の一般化で局所線型近似としての全微分の性質を受け継ぐ。

導入

函数テンプレート:Math に対し、その点テンプレート:Mvar における微分係数とは、一般に

f^{'} (p) = \lim_{x \to p} \frac{f (x) - f (p)}{x - p} = \lim_{h \to 0} \frac{f (p + h) - f (p)}{h} (h = x - p, x = p + h)

なる極限として定義される。この形で定式化すると、テンプレート:Mvar で割るということが多変数のテンプレート:Math の場合にはできないから、もう少し違った形を探らねばならない。

微分係数テンプレート:Math は函数テンプレート:Math のグラフ上の点テンプレート:Math における接線の傾きであり、またその接線は

y = f (p) + f^{'} (p) (x - p)

で表され、これは一次函数（アフィン線型函数）

x \mapsto f (p) + f^{'} (p) (x - p)

のグラフでもある。この函数は

f (x) = f (p) + f^{'} (p) (x - p) + r (x - p)

あるいは（テンプレート:Math つまりテンプレート:Math と置いて）

f (p + h) = f (p) + f^{'} (p) h + r (h)

と書くとき、誤差項テンプレート:Math がテンプレート:Math の極限においてテンプレート:Mvar よりも早くテンプレート:Math に収束する、すなわち

\lim_{h \to 0} \frac{| r (h) |}{| h |} = 0

が成り立つという意味において函数テンプレート:Mvar を近似するものである。

この形であれば多変数のテンプレート:Math の場合にも意味を持たせることができる。即ち、テンプレート:Mvar はテンプレート:Math のベクトル、テンプレート:Math はテンプレート:Math のベクトルであり、またテンプレート:Math はテンプレート:Math からテンプレート:Math への線型写像である。一変数の実函数テンプレート:Math の点テンプレート:Math における微分係数テンプレート:Math はふつうは数と解釈されるが、それに対して多変数の場合にはこれら線型変換は微分行列 (Ableitungsmatrix), ヤコビ行列あるいは基本行列 (fundamental matrix) などと呼ばれる行列で表される（ここで一次元の場合を振り返れば、テンプレート:Math-行列はその唯一の成分である数と同一視できるから、一変数の場合とも整合する）。

変数同士の陰伏的な関係と微分

函数テンプレート:Mvar は二つの変数テンプレート:Mvar の函数とする。通常はこれらは互いに独立であると仮定するところだが、これらが従属関係を持つ状況を考えなければならない場面も存在する。例えばテンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の函数で、テンプレート:Mvar の定義域をテンプレート:Math 内の曲線に制限するとすれば、このときテンプレート:Mvar に関するテンプレート:Mvar の偏微分は、テンプレート:Mvar の変化率を正しくあたえるものとならない（テンプレート:Mvar を動かせばテンプレート:Mvar も変化してしまうから）。しかし全微分はそれらの依存関係も汲んで捉えることができる。

例えばテンプレート:Math を考える。テンプレート:Mvar に関するテンプレート:Mvar の変化率は普通はテンプレート:Mvar に関する偏微分商、今の場合テンプレート:Math で得られるが、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar に依存するならば、テンプレート:Mvar を動かすときテンプレート:Mvar を固定することができないから、この偏微分商はテンプレート:Mvar の変分に対するテンプレート:Mvar の変化率を正しく与えない。

今制約条件として直線テンプレート:Math 上に話を限れば、テンプレート:Math である。この場合、テンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar に関する全微分商は

\frac{𝑑 𝑓}{𝑑 𝑥} = 2 x

である。テンプレート:Mvar にテンプレート:Mvar の式を実際に代入する代わりに、同じ結果を連鎖律を用いて

\frac{𝑑 𝑓}{𝑑 𝑥} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{𝑑 𝑦}{𝑑 𝑥} = y + x \cdot 1 = x + y

と得ることができる。これが偏微分商と一致しないこと:

\frac{𝑑 𝑓}{𝑑 𝑥} = 2 x \neq \frac{\partial f}{\partial x} = y = x

に注意せよ。

陰伏的な従属関係を代入を実行して解消することはしばしば有効なことだが、連鎖律を用いる方がより汎用で効果的な手法である。時刻テンプレート:Mvar と時刻テンプレート:Mvar に依存するテンプレート:Mvar 個の変数テンプレート:Mvar の函数テンプレート:Math を考えるとき、テンプレート:Mvar の全微分商

\frac{𝑑 𝑀}{𝑑 𝑡} = \frac{d}{𝑑 𝑡} M (t, p_{1} (t), \dots, p_{n} (t))

は、多変数函数の微分に関する連鎖律により

\frac{𝑑 𝑀}{𝑑 𝑡} = \frac{\partial M}{\partial t} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial M}{\partial p_{i}} \frac{{𝑑 𝑝}_{i}}{𝑑 𝑡} = (\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{{𝑑 𝑝}_{i}}{𝑑 𝑡} \frac{\partial}{\partial p_{i}}) M

と書ける。例えばテンプレート:Math の全微分商は

\frac{𝑑 𝑓}{𝑑 𝑡} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{𝑑 𝑥}{𝑑 𝑡} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{𝑑 𝑦}{𝑑 𝑡}

となる。ここにテンプレート:Mvar の項が現れないのはテンプレート:Mvar が独立変数テンプレート:Mvar に直接依存していないことによる。

全微分可能性

テンプレート:Math の開集合テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の点テンプレート:Mvar に対し、写像テンプレート:Math がテンプレート:Mvar において全微分可能あるいは単に微分可能であるとは、線型写像テンプレート:Math が存在して、

\lim_{h \to 0} \frac{‖ F (p + h) - F (p) - L (h) ‖}{‖ h ‖} = 0

を満たすことを言う。ここに、テンプレート:Mvar はテンプレート:Math のベクトル、各量を挟む二重縦棒テンプレート:Math はそれぞれテンプレート:Math またはテンプレート:Math のベクトルのノルムである（テンプレート:Math やテンプレート:Math のノルムは任意のノルムが同値となるから、上記の定義はノルムの選び方に依らないことに注意）。

この線型写像テンプレート:Mvar は、存在するならば一意に定まる。これをテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar における全微分 (total derivative) または単に微分と呼び、テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math などで表す。

参考文献

テンプレート:Reflist

Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
From thesaurus.maths.org total derivative テンプレート:リンク切れ

外部リンク

↑ Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.

[Chiang-1] Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.

[1]

全微分

目次

導入

変数同士の陰伏的な関係と微分

全微分可能性

参考文献

関連項目

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変数同士の陰伏的な関係と微分

全微分可能性

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