函数の全微分

微分法の分野における全微分（ぜんびぶん、テンプレート:Lang-en-short）は多変数の場合の函数の微分である。

テンプレート:Mvar を[[数ベクトル空間| テンプレート:Math]]（あるいはより一般に可微分多様体）の開集合として、全微分可能な函数 テンプレート:Mvar の全微分を テンプレート:Mvar と書けば、これは

$𝑑𝑓=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}{𝑑𝑥}_i$

のように表される。全微分と偏微分の区別のため、全微分には "丸くない d" を用い、偏微分には "丸い d" つまり ∂ を用いる。以下、扱う函数は全て全微分を持つものと仮定するから、同時にそれは偏微分可能であり、また テンプレート:Mvar は上記の式として表すことが可能となることに注意。

伝統的には、あるいは現代においても自然科学などの分野においてしばしば、微分 テンプレート:Mvar などを無限小として扱う。一方現代数学的な取扱いでは、微分形式（特に微分 1-形式）と考える。これは完全に形式的な式と考えることもできるし、線型写像として扱うこともできる。函数 テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar における微分 テンプレート:Math は、各ベクトル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar を通る テンプレート:Mvar-方向への方向微分を対応付ける線型写像になる。この意味において全微分は、全微分係数（全導函数）である。このことは函数の終域を テンプレート:Math やほかのベクトル空間あるいは多様体に取り換えても通用する。

全微分と線型近似

全微分可能な函数 テンプレート:Math の点 テンプレート:Math における全微分商 (total derivative) は、函数

$h\mapsto f(p+h)-f(p)$

を近似する線型写像であり、テンプレート:Math が十分小さいとき

$f(p+h)-f(p)\approx \sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)h_i(h=(h_1,\dots ,h_n))$

と書くことができる。

現代数学において、この写像は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における全微分 (total differential) テンプレート:Math と呼ばれる（この意味において、全微分商と全微分は同義である）。微分小 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の第 テンプレート:Mvar-成分 テンプレート:Mvar を対応させる写像 テンプレート:Math と見れば、写像としての等式

$𝑑𝑓(p)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(p){𝑑𝑥}_i$

が成り立ち、上記の近似式は

$f(p+h)-f(p)\approx [\mathrm{d}f(p)](h)$

と書くことができる。

微小変分としての微分小

伝統的には、自然科学の広範な分野において、微分小 テンプレート:Mvar を微小変分 テンプレート:Mvar それ自身と考えることがよく行われる。このとき、テンプレート:Mvar の全微分 テンプレート:Mvar はその変分の線型主要部であり、上記の近似式は

$\mathrm{\Delta }f=f(p+𝑑𝑥)-f(p)\approx 𝑑𝑓$

あるいは

$f(p+𝑑𝑥)\approx f(p)+𝑑𝑓$

と書くことができる。

線型写像としての全微分

実線型空間

テンプレート:Mvar がベクトル空間 テンプレート:Math の開集合で、テンプレート:Math は微分可能とする。任意の点 テンプレート:Math における全微分 テンプレート:Math は、各ベクトル テンプレート:Math に対して方向微分を割り当てる線型写像、即ち

$𝑑𝑓(p):{ℝ}^n\to ℝ;v\mapsto {\partial }_{v}f(p)={\frac{d}{𝑑𝑡}f(p+tv)|}_{t=0}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)v^i$

である。テンプレート:Math は R-値であるから、これは線型形式であり、また テンプレート:Math をベクトルの第 テンプレート:Mvar-成分を取り出す写像（双対基底）

${𝑑𝑥}^i(v)={𝑑𝑥}^i(v^1,\dots ,v^n)=v^i$

とすれば、上記は

$𝑑𝑓(p)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}(p){𝑑𝑥}^i$

と書ける。あるいはまた勾配を用いて

$[𝑑𝑓(p)](v)=\mathrm{\nabla }f(p)\cdot v=\mathrm{grad}(f)\cdot v$

と書くこともできる。右辺は点乗積である。

多様体

テンプレート:Main 一般の場合において、点 テンプレート:Math における全微分 テンプレート:Math は接ベクトル テンプレート:Math に対して、その方向への方向微分を割り当てる。接ベクトル テンプレート:Math（テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar を満たす テンプレート:Mvar 内の曲線）に対し、

$[𝑑𝑓(p)](v)={\frac{d}{𝑑𝑡}(f\circ \gamma (t))|}_{t=0}$

である。従って全微分 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar における余接空間 テンプレート:Math の元である。

テンプレート:Mvar を適当な座標系のもとで表示するために、点 テンプレート:Mvar の近傍 テンプレート:Mvar で定義された写像 テンプレート:Math で テンプレート:Mvar となるものをとる。テンプレート:Math の標準基底を テンプレート:Math とすれば、相異なる テンプレート:Mvar この曲線 テンプレート:Math は テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の基底であり、

$\frac{\partial f}{\partial y^i}(p)={\frac{d}{𝑑𝑡}(f\circ {\gamma }_i(t))|}_{t=0}=\frac{\partial }{\partial x_i}(f\circ y^{-1})(0)$

と偏微分を得ることができる。先の例と同様に テンプレート:Math は写像 テンプレート:Math の全微分とすれば、これは テンプレート:Mvar の元であって、テンプレート:Math の双対基底を成し、上記は

$𝑑𝑓(p)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial y^i}(p){𝑑𝑦}^i$

と書ける。

接ベクトル テンプレート:Math をテンプレート:仮リンク（微分作用素）と見れば、テンプレート:Math を得る。

連鎖律

テンプレート:Main テンプレート:Math は可微分函数で、テンプレート:Math, テンプレート:Math は滑らかな曲線とすると、合成函数の微分は

$\begin{array}{cc}\frac{d}{𝑑𝑡}(f\circ g)(t)& =[𝑑𝑓(g(t))](g^{\prime }(t))=\mathrm{\nabla }f(g(t))\cdot g^{\prime }(t)=\mathrm{grad}f(g(t))\cdot g^{\prime }(t)\\ & =\frac{\partial f}{\partial x^1}(g(t)){g_1}^{\prime }(t)+\dots +\frac{\partial f}{\partial x^n}(g(t)){g_n}^{\prime }(t)\end{array}$

と書ける。多様体の場合にも同様のことが成り立つ。

無限小と微分形式

無限小変分としての全微分を考えることは全微分を理解する単純な方法である。たとえば時刻 テンプレート:Mvar と時刻 テンプレート:Mvar に依存する テンプレート:Mvar 個の変数 テンプレート:Mvar の函数 テンプレート:Math を考えるとき、テンプレート:Mvar の無限小変分は

$𝑑𝑀=\frac{\partial M}{\partial t}𝑑𝑡+\sum _{i=1}^n\frac{\partial M}{\partial p_i}{𝑑𝑝}_i$

で与えられる。しばしばこの式は「経験論的」な無限小の間の関係として解釈されるが、変数 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar を函数と思えば、テンプレート:Math はこれらの函数と テンプレート:Mvar の合成と解釈できるから、上記は微分 1-形式の間の等式として完全に意味を持ち、外微分に関する連鎖律からすぐに得られる。このような観点に立つ利点は、変数間の任意の依存関係を扱うことができることである。たとえば、テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math が成り立つ。特に全ての変数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の函数ならば

$𝑑𝑀=\frac{\partial M}{\partial t}𝑑𝑡+\sum _{i=1}^n\frac{\partial M}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t}𝑑𝑡$

となる。

可積分性

テンプレート:Main 各全微分 テンプレート:Math は 1-形式である。即ち

$A(p)=\sum _{i=1}^n{a}_i(p){𝑑𝑥}^i$

と表示できる。微分形式の解析学においてカルタン微分 テンプレート:Mvar は 2-形式

$𝑑𝐴(p)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n[\frac{\partial a_j}{\partial x_i}(p)-\frac{\partial a_i}{\partial x_j}(p)]{𝑑𝑥}^i\wedge {𝑑𝑥}^j$

である。テンプレート:Mvar が実際に テンプレート:Math-級函数 テンプレート:Mvar の全微分 テンプレート:Mvar であるとき、即ち テンプレート:Mvar のとき二階微分の対称性により

$𝑑𝐴(p)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(p)-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}(p)]{𝑑𝑥}^i\wedge {𝑑𝑥}^j=0$

が成り立つ。

局所的には常にこの逆が成り立つ:

1-形式 テンプレート:Mvar が テンプレート:Math を満足するならば、その点の適当な近傍において テンプレート:Mvar の原始函数、すなわち可微分函数 テンプレート:Mvar で テンプレート:Math を満足するものが存在する。

ゆえに テンプレート:Math を可積分条件と呼ぶことがある。これは具体的には任意の テンプレート:Mvar に対して

$\frac{\partial a_j}{\partial x_i}=\frac{\partial a_i}{\partial x_j}$,

あるいは

$\frac{\partial a_j}{\partial x_i}-\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\equiv 0$

が成り立つことである。

多くの場合には、さらに大域的な原始函数が存在して テンプレート:Mvar はその全微分になる。これは例えば、微分形式がテンプレート:Math の領域、より一般にはテンプレート:仮リンクあるいは単連結領域上で定義される場合などである。

多様体 テンプレート:Mvar 上の任意の 1-形式が可積分条件を満たす（つまり、原始函数を持ちその全微分となる）という主張は、一次のテンプレート:仮リンク テンプレート:Math が自明であることと同値である。

微分積分学の基本定理

テンプレート:Math において任意の テンプレート:Math-形式 テンプレート:Mvar を考えるとき、次元の関係から必ず テンプレート:Math が成立する。従って テンプレート:Math において可積分条件が成り立ち、適当な可微分函数 テンプレート:Mvar が存在して テンプレート:Math, 即ち テンプレート:Mvar が成立する。これは一変数の場合の微分積分学の基本定理に他ならない。

全微分方程式

テンプレート:Main 完全微分方程式 (total differential equation) は、全微分に関する方程式として書ける微分方程式である。外微分の性質により、このような方程式は空間の内在的かつ幾何学的な性質を記述するものと理解することができる。

一般化

同様にして（成分ごとに考えて）ベクトル値函数の全微分も定義できる。可微分多様体間の可微分写像に対する一般化として微分写像が得られる。

函数解析学において全微分は、フレシェ微分によって容易に一般化することができる。変分法ではテンプレート:仮リンクと呼ばれる。

参考文献

• Alle Lehrbücher der Analysis, üblicherweise Band 2, „Mehrere Veränderliche“, etc.