実数値関数

テンプレート:出典の明記 実数値関数（じっすうちかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、値として実数を与える関数をいう。つまり、定義域のそれぞれの元に対し実数を割り当てる関数のことである。特に、定義域も実数の部分集合であるもの、すなわち実変数の実数値関数を実関数（じつかんすう、テンプレート:Lang-en-short）というテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

多くの重要な関数空間が、いくつかの実数値関数からなるものとして定義されている。

テンプレート:Anchors一般の実数値関数

テンプレート:Mvar を任意の集合とする。テンプレート:Math を テンプレート:Mvar から テンプレート:Math への関数全体の集合で表すものとする。テンプレート:Math は可換体であるので、テンプレート:Math はベクトル空間であり、実数上の結合多元環は、以下のように定義できる。

1. ベクトル和: テンプレート:Math
2. 加法単位元: テンプレート:Math
3. スカラーとの積: テンプレート:Math
4. 各点ごとの積: テンプレート:Math

また、テンプレート:Math は順序集合であることから、テンプレート:Math には以下のような半順序が入る。

$f\le g⟺\mathrm{\forall }x:f(x)\le g(x).$

これによって、テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクとある。

テンプレート:Anchors可測な実数値関数

ボレル集合の [[完全加法族|テンプレート:Mvar-代数]]は実数上に定義される重要な構造である。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-代数を持ち、関数 テンプレート:Mvar が、すべてのボレル集合 テンプレート:Mvar に対して、その原像 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-代数に属しているとき、テンプレート:Mvar は可測であるという。この可測関数はまた、うえで説明したようなベクトル空間と代数をつくる。 

テンプレート:Anchors連続な実数値関数

実数は、位相空間であり完備距離空間である。連続な実数値関数（これは暗黙のうちに テンプレート:Mvar が位相空間であることを主張する）は位相空間や距離空間の理論で重要なものである。極値定理は、コンパクト空間上のすべての連続な実数値関数には（極小、極大にとどまらない大域的な）最小値と最大値が存在することを主張する。

脚注

文献

• テンプレート:Cite Kotobank
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