正則行列

テンプレート:Expand English 正則行列（せいそくぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。例えば、複素数体上の二次正方行列

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

が正則行列であるのは テンプレート:Math が成立するとき、かつ、そのときに限る。このとき逆行列は

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

で与えられる。

ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群は線形代数群あるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。

定義

テンプレート:Mvar 次単位行列を テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar で表す。 環の元を成分にもつ テンプレート:Mvar 次正方行列 テンプレート:Mvar に対して、

$AB=E=BA$

を満たす テンプレート:Mvar 次正方行列 テンプレート:Mvar が存在するとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 次正則行列、あるいは単に正則であるという。テンプレート:Mvar が正則ならば上の性質を満たす テンプレート:Mvar は一意に定まる。 これを テンプレート:Mvar の逆行列（ぎゃくぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short）と呼び、テンプレート:Math と表すテンプレート:Sfn。

例

次の複素数体の元を成分にもつ行列 テンプレート:Math2 を考える。

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

このとき テンプレート:Math を満たすので、テンプレート:Mvar は正則行列で、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の逆行列である。 一方、テンプレート:Mvar に注目すれば テンプレート:Mvar も正則行列で、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の逆行列である。

また次の行列 テンプレート:Mvar は逆行列をもたないので、正則ではない。

$N=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

特徴づけ

体の元を成分にもつ テンプレート:Mvar 次正方行列 テンプレート:Mvar に対して次は同値である。 テンプレート:Div col

• テンプレート:Mvar は正則行列である
• テンプレート:Math となる テンプレート:Mvar 次正方行列 テンプレート:Mvar が存在するテンプレート:Sfnテンプレート:Refnest
• テンプレート:Math となる テンプレート:Mvar 次正方行列 テンプレート:Mvar が存在するテンプレート:Sfn
• テンプレート:Mvar の階数は テンプレート:Mvar であるテンプレート:Sfn
• テンプレート:Mvar は左基本変形のみによって単位行列に変形できるテンプレート:Sfn
• テンプレート:Mvar は右基本変形のみによって単位行列に変形できるテンプレート:Sfn
• 一次方程式 テンプレート:Math は自明な解しかもたないテンプレート:Sfn
• テンプレート:Mvar の行列式は テンプレート:Math ではないテンプレート:Sfn
• テンプレート:Mvar の列ベクトルの族は線型独立である
• テンプレート:Mvar の行ベクトルの族は線型独立である
• テンプレート:Mvar の固有値は、どれも テンプレート:Math でない

性質

テンプレート:Mvar 次正則行列 テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar について次が成り立つ。

• テンプレート:Math
• テンプレート:Math
• テンプレート:Math
• テンプレート:Mvar の余因子行列を テンプレート:Math とおくと テンプレート:Math
• テンプレート:Mvar 次正方行列 テンプレート:Mvar が冪零行列ならば テンプレート:Math は正則で、逆行列は テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn
• テンプレート:Mvar の転置 テンプレート:Math も正則行列で テンプレート:Math（これを テンプレート:Math と書くこともある）
• テンプレート:Mvar のエルミート共役 テンプレート:Math も正則行列で テンプレート:Math（これを テンプレート:Math と書くこともある）

判定法

テンプレート:See also 行列の正則性は行列の基本変形を使って判定できるテンプレート:Sfn。 具体的な逆行列の計算には、基本変形を使って順に掃き出していく方法がよく使われる。 一方で、理論的には行列式を使ったクラメルの公式も重要である。 しかしこの方法は逆行列を数値計算するのには向かないテンプレート:Sfn。

関連項目

• 線型代数学
• 行列の階数
• ユニモジュラ行列
• リー群
• 擬似逆行列

参考文献

• テンプレート:Cite book