一次方程式

テンプレート:Expand English 数学における一次方程式（いちじほうていしき、テンプレート:Lang-en）は、一次多項式の解を求めるものである。

一変数の場合

a x + b = 0

または

a x = - b

なる形をとる。後者の形の場合は、テンプレート:Mvar ≠ 0 ならば（テンプレート:Mvar⁻¹ = テンプレート:Sfrac が存在するから）一意的に解けて テンプレート:Mvar = −テンプレート:Sfrac がその解である。テンプレート:Mvar = 0 のとき、テンプレート:Mvar ≠ 0 ならば不能、テンプレート:Mvar = 0 ならば不定である。

a x + b y + c = 0

で、これは {（テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar）| テンプレート:Mvar + テンプレート:Mvar + テンプレート:Mvar = 0} なる集合、つまり平面上の直線を表すと考えられる。直線が座標軸と平行でない場合、

y = m x + b

なる形で扱うことができる。これはふつう、テンプレート:Mvar を自由変数とし テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の従属変数とみるとき、一次関数と呼ぶ。

a x + b y + c z = d

はユークリッド空間 テンプレート:Mvar³ における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル テンプレート:Mvar := (テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar) に直交し、平面上の一点 テンプレート:Mvar₀ が与えられれば

n (x - x_{0}) = 0

なる形に書きなおせる（平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の テンプレート:Mvar-次元で考えれば、テンプレート:Mvar^{テンプレート:Mvar} 内の超平面（余次元 1 のアフィン部分空間）を表す。すなわち テンプレート:Mvar-変数の一次方程式

a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = b

は超平面の方程式である。一次形式

L : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n}

は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は

{(x_{1}, \dots, x_{n}) ∣ a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = b} = x_{0} + \ker L

の形に書くこともできる。

一次方程式の理論は係数や解を（実数や複素数のような数に限らず）一般の（非可換）体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体 テンプレート:Mvar であるような一次方程式が拡大体テンプレート:Sfrac で解を持つならば、既にテンプレート:Mvar において解を持ち、テンプレート:Mvar における一般解がそのままテンプレート:Mvar における一般解になる。

テンプレート:See also テンプレート:Mvar が行列、テンプレート:Mvar がベクトル値の変数、テンプレート:Mvar を定ベクトルとするとき、一次方程式

A x = b

より一般に、集合 テンプレート:Mvar に作用素の集合 テンプレート:Mvar が与えられているとき、テンプレート:Mvar-値の変数 テンプレート:Mvar に対して作用 τ ∈ テンプレート:Mvar および定元 テンプレート:Mvar ∈ テンプレート:Mvar を与えれば、方程式

τ x = b

は意味を持ち、τ の逆作用素 τ⁻¹が存在すれば テンプレート:Mvar = τ⁻¹テンプレート:Mvar となる。特に テンプレート:Mvar が群 テンプレート:Mvar で テンプレート:Mvar が[[群上の加群|テンプレート:Mvar-加群]] テンプレート:Mvar のとき、

g x + b = 0 (g \in G, b \in M)

なども意味を持つ。