多項式の根

数学における多項式 テンプレート:Math の根（こん、テンプレート:Lang-en-short）は、テンプレート:Math を満たす値 テンプレート:Mvar を言う。すなわち、根は未知数 テンプレート:Mvar の多項式方程式 テンプレート:Math の解であり、また対応する多項式函数の零点である。例えば、多項式 テンプレート:Math の根は テンプレート:Math および テンプレート:Math となる。

ある体に係数を持つ非零多項式は、「より大きい」体の中にしか根を持たないこともあるが、根の数はその多項式の次数より多くなることはない。例えば テンプレート:Math は次数 テンプレート:Math で有理数係数だが、有理根を持たず、二つの根を実数体 テンプレート:Mathbf に（したがって 複素数体 テンプレート:Mathbf の中に）おいて持つ。ダランベール–ガウスの定理は次数 テンプレート:Mvar の任意の複素係数多項式が（必ずしも異ならない）テンプレート:Mvar 個の根を持つことを述べるものである。

多項式の根の概念は、多変数多項式の零点の概念に一般化されるテンプレート:Sfn。

定義

以下、不定元 テンプレート:Mvar に関する多項式 テンプレート:Math は適当な体あるいはより一般に可換環 テンプレート:Mvar に係数を持つものとする（実際に現れる係数はしたがってその適当な部分環に属している）。

定義 (多項式の根)テンプレート:Sfn

多項式 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における根とは、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar であって、不定元 テンプレート:Mvar にその値 テンプレート:Mvar を代入するとき、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar において零元となるものを言う。

したがって、多項式 テンプレート:Math は、有理数体 テンプレート:Mathbf に（また テンプレート:Mathbf または テンプレート:Mathbf に）係数を持ち、有理数体 テンプレート:Mathbf における根は持たないが テンプレート:Mathbf に（したがって テンプレート:Mathbf に）二つの根（つまり、2の平方根 $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$）を持つ。実際、この多項式の不定元 テンプレート:Mvar に $\sqrt{2}$ または $-\sqrt{2}$ を代入すれば テンプレート:Math になる。

語源

「根」という語は gizr のチェスターのロバートとクレモナのジェラルドによるラテン翻訳に由来する。用語 gizr は根を意味し、ラテン語に訳せば radix である。用語 gizr は8世紀ペルシアの数学者アル゠フワーリズミにより、はじめて二次方程式の実根の包括的な計算を扱った著作 テンプレート:Ill2 で用いられた。

別定義 (多項式の根)テンプレート:Sfn

多項式 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における根とは、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar であって、二項式 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar を（テンプレート:Math において）テンプレート:Ill2ものを言う。

上と同じ例では等式 $X^2-2=(X-\sqrt{2})(X-(-\sqrt{2}))$ が実際 $\sqrt{2},-\sqrt{2}$ がこの意味での二根であることを示す式になっている。

この二種類の定義の同値性は因数定理によって正当化できるが、次の節の帰結としても出る。

関連する定義

テンプレート:Main 多項式 テンプレート:Math がモニック であるという単純な事実により—テンプレート:Mvar が整域でなくとも—以下の概念が定義できる:

定義 (根の重複度, 重根)テンプレート:Sfn

非零多項式 テンプレート:Mvar と任意の テンプレート:Math に対し

• テンプレート:Math を テンプレート:Math が割り切るような最大の整数 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に関する テンプレート:Mvar の位数または重複度と呼ぶ。
• この整数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math かつ テンプレート:Math なる多項式 テンプレート:Mvar の存在によって特徴付けられる。
• テンプレート:Math となるとき テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の単根と言い、テンプレート:Math のとき重根という。

多項式 テンプレート:Math は分離多項式（つまり重根を持たない）であり、以下に述べる意味で テンプレート:Mathbf において分解する:

定義 (多項式の分解)

多項式 テンプレート:Mvar が体 テンプレート:Mvar に係数を持つ一次式の積に表されるとき、多項式 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar において分解すると言う。

このとき最高次係数もこれら一次式の最高次係数に因数分解できるから、したがって分解の定義を「テンプレート:Math において テンプレート:Mvar が定数と一次のモニック多項式からなる積に表されるとき」と言っても同じことである。このような分解は一意である: これら一次モニック多項式の各定数項は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における根の反数に等しく、またその根の位数が テンプレート:Mvar ならその一次因子は テンプレート:Mvar 回繰り返し現れる。したがって、それら因子の数は テンプレート:Mvar の次数に等しい。

根の存在

命題 (中間値の定理の系)

奇数次の実係数多項式は少なくとも一つ実根を持つ

テンプレート:Main 以下、テンプレート:Mvar は可換体、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に係数を持つ一不定元多項式とする。体 テンプレート:Mvar の拡大体とは テンプレート:Mvar を部分体として含む体をいう（例えば テンプレート:Mathbf および テンプレート:Mathbf は テンプレート:Mathbf の拡大である）。

さて テンプレート:Math および テンプレート:Math が テンプレート:Mvar を分解する テンプレート:Mvar の二つの拡大であるとき、テンプレート:Math の元としての テンプレート:Mvar の根と テンプレート:Math の元としての テンプレート:Mvar の根は「同じ」ものなのかという問いが自然に生じてくる。これには以下のような同値性が存在する: テンプレート:Mvar の根をすべて含む テンプレート:Math の部分拡大（テンプレート:Mvar の（最小）分解体と呼ばれる）および テンプレート:Math の同様の部分拡大が存在して、これら二つの テンプレート:Mvar の部分拡大は一致する。例として、テンプレート:Math とすれば、テンプレート:Mvar の分解体は テンプレート:Math (テンプレート:Mvar は有理数) なる形の数全体の成す集合である。この集合は（一意でない体の同型により）実数体 テンプレート:Mathbf および代数的数体 テンプレート:Math の一意な部分体として同一視できる。したがって、根の対 $\sqrt{2},-\sqrt{2}$ を テンプレート:Mathbf に埋め込んだものは テンプレート:Math に埋め込んだものと同じものと考えることができる。

定理 (根の存在)

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar において分解する最小の テンプレート:Mvar の拡大体 テンプレート:Mvar は、同型を除いて一意に存在する。この拡大体 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar 上の分解体と呼ぶ。

多項式 テンプレート:Mvar を分解する体 テンプレート:Mvar に対し、ほかの テンプレート:Mvar-係数多項式が テンプレート:Mvar において分解するとは限らないし、より強く テンプレート:Mvar-係数多項式は テンプレート:Mvar において分解するとは限らない。体 テンプレート:Mvar が代数閉とは、任意の テンプレート:Mvar-係数多項式が テンプレート:Mvar において分解するときに言う。

定理 (代数閉包の存在)

テンプレート:Mvar の最小の代数閉拡大体 テンプレート:Mvar は、同型を除き一意に存在する。この体 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の代数閉包と呼ぶ。

体 テンプレート:Mathbf は代数閉である（これをダランベール–ガウスの定理という）。テンプレート:Mathbf の代数閉包は テンプレート:Mathbf であり、また テンプレート:Mathbf の代数閉包は テンプレート:Mathbf の部分体 テンプレート:Math である。

根の重複度の微分による判定

定理テンプレート:Sfnテンプレート:Sfn

テンプレート:Mvar を可換環、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar-係数多項式とし、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のテンプレート:Nowrap の根とする:

• テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の導多項式 テンプレート:Mvar の位数が少なくとも テンプレート:Math の根で、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar において消約可能ならば位数はちょうど テンプレート:Math になる。
• テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の根になる。
• 階乗 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar で消約可能ならば テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の根にはならない。

特に:

• テンプレート:Mvar の根が重根となるための必要十分条件は テンプレート:Mvar の根にもなることである。
• テンプレート:Mvar がテンプレート:Nowrap の体ならば、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-位の根となるための必要十分条件は テンプレート:Math かつ テンプレート:Math となることである。

正標数 テンプレート:Mvar の場合には、この最後の判定法は適用できない。実際、例えば テンプレート:Mvar の導多項式は零多項式となる。

根の計算

多項式の根の計算にテンプレート:Ill2が利用できる。多項式 テンプレート:Mvar をラグランジュ補間により二次多項式 $a_2{x}^2+b_{2}x+c_2$ で補間する。テンプレート:Mvar の補間式の係数を、三点 テンプレート:Math で評価して求めれば:

• $a_2=\frac{P[x_0,x_1]-P[x_1,x_2]}{x_0-x_2}=P[x_0,x_1,x_2]$
• $b_2=P[x_1,x_2]-a_2\times (x_1+x_2)$
• $c_2=P(x_2)-a_2\times x_2^2-b_2\times x_2$

となる。ただし、

$f[u,v]=\frac{f(u)-f(v)}{u-v}$

は差商である。

しかし、この近似多項式を使うことは、この多項式の根の選択に問題を生じる。そこでミュラーは同じ多項式を、根に収束する テンプレート:Mvar に対する

$a_n(x-x_n{)}^2+b_n(x-x_n)+c_n$

の形で用いることを考えた。このアルゴリズムを詳しく書けば、テンプレート:Mvar を複素数として、各係数は

• $a_n=P[x_{n-2},x_{n-1},x_n]$
• $b_n=P[x_{n-1},x_n]-a_n\times (x_{n-1}-x_n)$
• $c_n=P(x_n)$

で与えられる。この方法は自己収束的、すなわち根の計算は徐々に精度を上げる。そこで テンプレート:Math, テンプレート:Math を初期値とすると、考えてる多項式が テンプレート:Mvar で消えていない限り、テンプレート:Math 回目の反復で

• $r=\sqrt{b_n^2-4a_n{c}_n}$ または $b_n^2-4a_n{c}_n$ が負または複素数
  • $d=\{\begin{array}{cc}\frac{-2c_n}{b_n-r}& (|b_n+r|<|b_n-r|)\\ \frac{-2c_n}{b_n+r}& \text{otherwise}\end{array}$
• $x_{n+1}=x_n+d$

となる。最終的に テンプレート:Mvar は零点に到達する。

参考文献

• テンプレート:Ouvrage,
• テンプレート:Ouvrage

関連項目

• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2
• 多項式方程式
  • 二次方程式
• 多項式函数
• テンプレート:Ill2
• ルーシェの定理

外部リンク

• Racines entières d'un polynôme à coefficients entiers sur gecif.net
• テンプレート:ProofWiki