ルーシェの定理

ルーシェの定理 (テンプレート:Lang-fr-short、テンプレート:Lang-en-short)は、フランスの数学者であるテンプレート:Lang (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。

定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。

定理

$D$ を複素平面（ガウス平面）のある単連結な開集合（領域）、$\partial D$ をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする）、$K$ を $D$ の閉包 （= $D+\partial D$） とし、$f(z)$ および $g(z)$ を$K$ 上で定数でない正則な複素関数で、$\partial D$上で、$|f(z)|>|g(z)|$ を満たすとすれば、 $D$ 内での $f(z)+g(z)$ と $f(z)$ の零点の個数 （ただし位数nの零点はn個として数える）は一致する。

証明

$\partial D$ 上では、$|f(z)|>|g(z)|$ という条件から、$|f(z)|>0$ であり、

$\log (f(z)+g(z))=\log f(z)+\log (1+g(z)/f(z))$

と書くことができる。 $f(z)$ および $g(z)$ は $D$ で極を持たないので偏角の原理 から $f(z)+g(z)$ の $D$ 内における零点の個数をnとすれば、

$\begin{array}{cc}n& =\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial D}\frac{d\log (f(z)+g(z))}{dz}dz\\ & =\frac{1}{2\pi i}[{\oint }_{\partial D}\frac{d\log f(z)}{dz}dz+{\oint }_{\partial D}\frac{d\log (1+g(z)/f(z))}{dz}dz]\end{array}$

である。

ここで $\omega :K\to ℂ$ を、$\omega (z)=1+g(z)/f(z)$ で定義する。前述のように$\partial D$ 上では $|f(z)|>0$ であり、$f(z)$ および $g(z)$ は $K$ 上で正則であるから、$\omega (z)$ は $\partial D$ 上で正則である。従って $\omega (z)$ による $\partial D$ の像を $C$ とすれば、 $C$ も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。

上の式の右辺第2項の積分を考えれば、

${\oint }_{\partial D}\frac{d\log (1+g(z)/f(z))}{dz}dz={\oint }_{\partial D}\frac{d\log \omega }{d\omega }\frac{d\omega }{dz}dz={\oint }_C\frac{d\log \omega }{d\omega }d\omega$

である。結局この式の値は $\log \omega$ を $C$ 上のある点を始点として $C$ に沿って一周した場合の増分になるが、$\partial D$ 上では $|f(z)|>|g(z)|$ という条件から $C$ 上では $\mathrm{Re}\omega$ は正であり、 $C$ は $\log \omega$ の分岐点である $\omega =0$ を一周しないので、その値は 0 である。従って、

$n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial D}\frac{d\log (f(z)+g(z))}{dz}dz=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial D}\frac{d\log f(z)}{dz}dz$

が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。

応用例

代数学の基本定理の証明

$f(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$

を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、$f(z)$ が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。

$R$ を正の実数とし、$D=\{z\mid |z|<R\}$ と置く。また、

$g(z)=a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$

$h(z)=z^n$

と置く。$R$ を十分大きく取れば $\partial D$ 上で $|h(z)|>|g(z)|$ が成立するので、 $D$ 内における $h(z)$ と $h(z)+g(z)$ (= $f(z)$ ) の零点の個数は一致し、 $h(z)$ の形から明らかなように、その値は n となる。

関連項目

• リーマンの写像定理

参考文献

• 遠木幸成・阪井章　『関数論』　学術図書出版社、1966年、82-83頁。
• 松田哲　『複素関数』　岩波書店、1996年、110-111頁。